Randwert und Produktansatz

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24.03.2018, 01:11	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Randwert und Produktansatz Hallo bin es wieder . Hab gedacht übe an der 2 Aufgabe: WIe muss ich hier erst einmal bei der a) vorgehen?
24.03.2018, 10:45	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo MrGray, was ein Zufall: In unserem anderen thread Sturm-Liouville hatte ich als Beispiel die Wellengleichung angeführt mit c=1. Dies hier ist die Wellengleichung mit c=2 (also c²=4). Das heißt, dass du - für die b) - alles genau so machen kannst wie dort (Ansatz X(x)T(t), zwei gewöhnliche DGLen für X und T lösen, Randbedingungen einsetzen, lambdas ausrechnen, Lösungen superponieren). Für die a): https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_...ngen_2._Ordnung LG sibelius84
24.03.2018, 11:25	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut zu der b) werde ich nach einem Frühstück bald die Ergebnisse posten . Aber zur a),wie stelle ich da die Matrix auf ? Damit ich dann durch die Eigenwerte die Bedingungen testen kann?
24.03.2018, 11:28	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
1. umformen zu $\begin{eqnarray} u_{tt}-4u_{xx}=0 \end{eqnarray}$ 2. Es ist also a(x,t)=1 und c(x,t)=-4. Da Kreuzableitungen nicht vorkommen, sind der obere rechte und der untere linke Eintrag der Matrix jeweils Null.
24.03.2018, 15:52	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenwerte berechnet : (1-lambda)*(-4-lambda) = -4-lambda+4lambda +lambda^2 = -4 +3lambda+lambda^2 eigenwerte : 1 und -4 WAS bedeutet das ?
24.03.2018, 15:58	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
b) u(x,y) = X(x) Y(y) X"(x)Y(y) +Y"(y)X(x) Y'' = -lambda Y X'' = lambda*X Was verändert sich durch die 4 genau ?
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24.03.2018, 17:59	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst den Produktansatz für u schon in die DGL $\begin{eqnarray} u_{tt}+4u_{xx}=0 \end{eqnarray}$ einsetzen. Dann beantwortet sich diese Frage quasi automatisch.
24.03.2018, 18:41	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist das utt und uxx im Produktansatz ? Das ist mir immer noch nicht so klar ?
24.03.2018, 19:18	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} u(x,t)=X(x)T(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{tt}(x,t)=X(x)T''(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{xx}(x,t)=X''(x)T(t) \end{eqnarray}$
24.03.2018, 20:22	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
X(x)T"(t) +4X"(x)T(t) =0 T"(t)/T(t) = -4X"(x)/X(x) T"(t) = lambdaT(t) X''(x) = -4lambda*T(t) Ich weiss nicht ob das richtig ist ?
24.03.2018, 23:55	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Aus dem von dir folgt $\begin{eqnarray} \frac{T''(t)}{T(t)}=\lambda=-4\frac{X''}{X} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} T''=\lambda T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X''=-\frac 1 4 \lambda X \end{eqnarray}$ .
25.03.2018, 00:05	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich jetzt die X Gleichung zuerst lösen oder T ? Woher weiss ich das? Bevor ich wieder falsch los rechne
25.03.2018, 12:07	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gehört zur Mathematik dazu, auch mal "falsch loszurechnen". Der Moment, in dem man merkt, 1.) dass, 2.) warum es falsch ist, ist eine potenziell ergiebige Quelle für Erkenntnisgewinn und Bewusstseinserweiterung! Kleiner Tipp - um die Frage nicht ganz unbeantwortet zu lassen: Überlege dir vorab, welches Vorzeichen für lambda sinnvoll ist. Z.B. anhand des Folgenden: Die Funktion u(x,t)=X(x)T(t) soll ja für x=0 oder x=2pi (d.h. am Rand) den Wert Null annehmen (vgl. dritte Zeile des Anfangs-Randwertproblems), also muss gelten: X(0)=X(2pi)=0. Darf dafür X eine 'richtige e-Funktion' sein, oder muss X dafür aus Sinus- und Cosinusfunktionen bestehen? edit: Wenn du das schon mal vorab weißt, ist es eigentlich völlig egal, ob zuerst X oder zuerst T.
25.03.2018, 12:15	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte jetzt einfach die X Gleichung: lambda > 0 u^2 = $\begin{eqnarray} \sqrt{-\frac{1}{4}\lambda } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x) = c_1e^{-\sqrt{-1/4\lambda } x}+ c_2e^{\sqrt{-1/4\lambda } x} \end{eqnarray}$ Soweit alles ok? Bin wegen 1/4 verwirrt? Schreibe morgen Klausur schon
25.03.2018, 12:16	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \pm\sqrt{-\frac 1 4} = \pm\frac 1 2 i \end{eqnarray}$
25.03.2018, 12:48	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte jetzt einfach die X Gleichung: lambda > 0 u = $\begin{eqnarray} \sqrt{-\frac{1}{4}\lambda } \end{eqnarray}$ u1,2 = $\begin{eqnarray} +-1/2i\sqrt{\lambda } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x) = c_1cos( 1/2 \sqrt{\lambda }x) +c_2 sin( 1/2* \sqrt{\lambda }x) \end{eqnarray}$ x(0) = c_1 = 0 x(2pi) = sin( 1/2* \sqrt{\lambda }pi) sqrt(lambda )= n/2 lambda = n^2/4 x(x) = sin( 1/2 n^2/pi^2pi) Das pi kann man natürlich kürzen. lambda <0 weil das lambda unter der Wurzel ein minus ist wird es durch ein negatives Lambda wegen der Bedingung positiv? $\begin{eqnarray} u1,2 = +-\frac{1}{2}\sqrt{\lambda } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x) = c_1e^{-1/2\sqrt{\lambda } x}+ c_2e^{1/2\sqrt{\lambda } x} \end{eqnarray*}$ x(0) = c_1= c_2 = 0 diese Bedingung auch fertig ? lambda = 0 wie immer halt?
25.03.2018, 12:51	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte jetzt einfach die X Gleichung: lambda > 0 u = $\begin{eqnarray} \sqrt{-\frac{1}{4}\lambda } \end{eqnarray}$ u1,2 = $\begin{eqnarray} +-1/2i\sqrt{\lambda } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x) = c_1cos( 1/2 \sqrt{\lambda }x) +c_2 sin( 1/2* \sqrt{\lambda }x) \end{eqnarray}$ x(0) = c_1 = 0 x(2pi) = sin( 1/2* \sqrt{\lambda }pi) sqrt(lambda )= n/pi lambda = n^2/pi^2 x(x) = sin( 1/2 n^2/pi^2pi) Das pi kann man natürlich kürzen. lambda <0 weil das lambda unter der Wurzel ein minus ist wird es durch ein negatives Lambda wegen der Bedingung positiv? $\begin{eqnarray} u1,2 = +-\frac{1}{2}\sqrt{\lambda } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x) = c_1e^{-1/2\sqrt{\lambda } x}+ c_2e^{1/2\sqrt{\lambda } x} \end{eqnarray*}$ x(0) = c_1= c_2 = 0 diese Bedingung auch fertig ? lambda = 0 wie immer halt? : Nochmal korriegiert
25.03.2018, 14:51	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht soweit gut aus! Nur ein Detail: Du hast $\begin{eqnarray} X(x)=\sin\left(\frac 1 2 \sqrt\lambda \cdot x\right) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} X(2\pi)=\sin\left(\frac 1 2 \sqrt\lambda \cdot 2\pi\right)=\sin\left(\sqrt\lambda\cdot\pi\right) \end{eqnarray}$ . Die Faktoren 2 und 1/2 kürzen sich weg. (Dadurch ändern sich natürlich deine Eigenwerte lambda, solltest du noch mal korrigieren, die Ergebnisse werden dann sogar etwas einfacher.)
25.03.2018, 15:04	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Den anderen Teil von deiner Lösung kann man nicht erkenn ?
25.03.2018, 15:10	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hättest ja auch selber den Faden aufnehmen und logisch weiterführen können
25.03.2018, 15:24	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ist lambda n^2 und fertig . Aber du hast die Frage zum ersten Teil der Aufgabe noch nicht beantwortet ? Eigenwerte habe ich ja berechnet , aber was ist es ? Elliptisch , parabol?
25.03.2018, 16:19	MrGray33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache auch schon mal den 2ten Teil der dgl. Die Erfahrung der letzten Threads hat gezeigt ,dass ich den Fall lambda <0 betrachten muss Also: lambda<0 T" = lambda T a^2 = lambda Für den Fall lambda kleiner 0 müsste ich ja dann ein Wurzel ziehen und ein minus lambda annehmen? a1,2 = $\begin{eqnarray} +-i\sqrt{\lambda } \end{eqnarray}$ t(t) = $\begin{eqnarray} a_1cos( \sqrt{\lambda }t) +a_2 sin( 1/2* \sqrt{\lambda }t)+ c_1cos( 1/2* \sqrt{\lambda }x) +c_2 sin( 1/2* \sqrt{\lambda }x) \end{eqnarray}$ Einfach so die Lösung addieren?
26.03.2018, 18:46	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wellengleichung ist hyperbolisch, wegen u_tt - c²u_xx = 0, also Matrix hat einmal den positiven EW 1, und einmal den negativen EW -c. Du musst immer den Fall betrachten, in dem für das durch Randbedingungen Eingeschränkte Kosinus- und Sinusfunktionen herauskommen. Wenn du die Lösung X(x) und T(t) (achte übrigens auf Groß- und Kleinschreibung, sowas wie x(x) oder t(t) ist absolut sinnlos) hast, in den Produktansatz X(x)T(t) einsetzen (sprich zusammenmultiplizieren).

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