Stammfunktion finden

24.03.2018, 10:47	mathestudent97	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion finden Meine Frage: Hallo. Ich beschäftige mich gerade mit Stammfunktionen von Brüchen. Von $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{3} } \end{eqnarray}$ ist mir klar, wie ich die Stammfunktion bilde. Ich kann den Bruch ja einfach in $\begin{eqnarray} 1 x^{-3} \end{eqnarray}$ umschreiben und dann ganz einfach die Stammfunktion finden. Wie sieht es jetzt allerdings beispielsweise mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{3} + x^{2} } \end{eqnarray}$ aus? Meine Ideen:* Den Bruch kann man ja leider nicht mehr ganz so einfach umschreiben, höchstens in $\begin{eqnarray} (x^{3} + x^{2}) ^{-1} \end{eqnarray}$ , aber das bringt mir ehrlich gesagt nichts.
24.03.2018, 10:58	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Schritt 1: Nenner faktorisieren gemäß x²(x+1) Schritt 2: Den Gesamtbruch in mehrere Teilbrüche zerlegen (das nennt man passenderweise "Partialbruchzerlegung") gemäß des Ansatzes $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3+x^2}\stackrel{!}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1} \end{eqnarray}$ . Man multipliziert nun mit dem Hauptnenner x³+x²=x²(x+1) durch und erhält $\begin{eqnarray} 1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} \lim_{x\to -1} \end{eqnarray}$ auf beiden Seiten erhält man unmittelbar C=1, und mit $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \end{eqnarray}$ bekommt man B=1. Setzt man dies ein und setzt auch noch x=1, so ergibt sich A=-1, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Also $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3+x^2}=-\frac 1 x +\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1} \end{eqnarray}$ . Das, was da steht, lässt sich nun wiederum leicht mit der von dir benannten Regel bzw. mit Hilfe des Logarithmus intergrieren. LG sibelius84
24.03.2018, 11:39	mathestudent97	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit verstehe ich das Ganze, ich weiß nur noch nicht, warum du bei der Partialbruchzerlegung in 3 Brüche statt in 2 zerlegst. Der Bruch A/x ist meiner Meinung nach doch fehl am Platz, oder?
24.03.2018, 11:46	mathestudent97	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, wie du mit dem Limes arbeitest, habe ich leider auch noch nicht verstanden. Warum nutzt du erst den Limes gegen -1 und dann gegen 0?
24.03.2018, 11:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sibelius gerade nicht online zu sein scheint: Du kannst in die umgeformte Gleichung $\begin{eqnarray} 1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2 \end{eqnarray}$ einmal -1 und einmal 0 für x einsetzen, um Aussagen über B und C zu treffen. Alternativ kannst Du auch die rechte Seite umordnen und ein Koeffizientenvergleich durchführen: $\begin{eqnarray} 1=(A+C)x^2+(A+B)x+B \end{eqnarray}$ . Da diese Gleichung für alle x gelten soll, muss A=-C und A=-B gelten, sowie B=1.
24.03.2018, 12:16	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp fürs nächste Mal: https://www.integralrechner.de/
Anzeige

24.03.2018, 13:23	mathestudent97	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke an alle, wirklich. Das mit dem Limes habe ich mittlerweile verstanden, ich verstehe nur einfach nicht, wie man darauf kommt, dass man den Bruch in drei Brüche unterteilt. Die Brüche mit B und C sind logisch, nur warum kommt der Bruch A/x zustande und vor allem wie? Dass es im Endeffekt stimmt, habe ich nachgerechnet.
24.03.2018, 18:05	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Tradition! Da haben fleißige Mathematiker herumprobiert, bis sie etwas gefunden haben, was funktioniert. Man könnte auch den Ansatz machen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3+x^2}\stackrel{!}=\frac{Ax+B}{x^2} + \frac{C}{x+1} \end{eqnarray}$ , würde auch funktionieren (Zählergrad immer um 1 kleiner als Nennergrad). Nur dann könnte man den ersten Bruch immer noch nicht problemlos integrieren bzw. müsste vorher noch umformen, gemäß $\begin{eqnarray} \frac{Ax+B}{x^2}=\frac A x + \frac{B}{x^2} \end{eqnarray}$ . Und da macht man's doch lieber direkt so

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »