Ein Beweis mit Kern und Bild

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Orly Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beweis mit Kern und Bild
Hallo,

leider komme ich mit dieser Aufgabe nicht wirklich weiter und hoffe ihr könnt mir helfen einen Ansatz zu finden. Erstmal die Aufgabe:

[attach]46772[/attach]

Mir macht schon die Notation zu schaffen, insbesondere das umgedrehte T (orthogonal?). Auch die Definition von U orthogonal unten hilft mir nicht weiter, da ich mir darunter ebenfalls nichts vorstellen kann. Soll W* einen Dualraum bezeichnen? Und dann bedeutet das irgendwie, dass U orthogonal die Menge von Elementen im Dualraum von W sind, die bei "zurückführen" in U = 0 sind?

Da F ein Homomorphismus ist muss F eine lineare Abbildung sein. F kann ich mir also als eine Matrix vorstellen. Jetzt soll ich zeigen, dass das Bild von der transponierten Abbildung F (und dann irgendwas mit dem orthogonalen) gleich dem Ker(F) ist.

Der Zusammenhang ist dann wahrscheinlich irgendwo darin, dass das orthogonale eine Menge ist, die auf 0 abgebildet wird und der Kern ja genauso und dann irgendwie zeigen, dass das Bild von F transponiert wieder F ist und damit beides irgendwie gleich ist?

Wie ihr seht, ich weiß es nicht. Freue mich auf eure Hinweise!

Edit: Das wollte ich unter Hochschulmathe posten, sorry. Hammer
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

zunächst mal gilt ja (wegen Dimensionsformel und Zeilenrang=Spaltenrang), also . Daher reicht es zu zeigen, dass für alle .

Aber bedeutet ja gerade für irgendein .

Wenn du das in das Skalarprodukt einsetzt und beachtest, müsstest du eigentlich auf deine Behauptung kommen können.

LG
sibelius84
 
 
Orly Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Hinweis. Leider konnte ich noch nicht verstehen wie du den Schritt von "" hin zu "Daher reicht es zu zeigen, dass für alle " machst.

Könntest du vielleicht ein wenig ausführen wie hier der logische Zusammenhang ist?

Und wie lautet denn die Definition von U orthogonal in Worten? Das würde mir wahrscheinlich auch helfen. Ist U orthogonal die Menge von "rückführenden" Abbildungen alpha im Dualraum W* die für alle u = 0 ergeben?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

U-orthogonal =
...besteht gerade aus allen Vektoren, die senkrecht auf allen stehen!

Orthogonale Vektoren sind automatisch linear unabhängig. Wenn für zwei Unterräume U, U' gilt, dass je zwei beliebig gewählte Vektoren aus U, U' (ungleich Null) linear unabhhängig sind (man sagt auch: die Summe U+U' ist direkt), dann gilt dim(U+U')=dim(U)+dim(U').

Da wir im Nachfolgenden ja dann zeigen, dass beliebig gewählte Elemente orthogonal aufeinander stehen (insbesondere also l.u. sind), tritt dieser Fall hier also ein: die Dimensionen addieren sich!

Damit wissen wir, dass Im(F^T) + Ker(F) = V. Wir haben also schon eine direkte Summe und müssebn dann für zwei beliebig gewählte Vektoren nur noch zeigen, dass die orthogonal aufeinander stehen.
Orly Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung dazu.

Also um deinen Hinweis von oben fortzusetzen:












Mit x aus W und y aus Im(F^T)

Puh - also selbst wenn das richtig ist, was ich ja schon bezweifle, dann kann ich mir immer noch nicht wirklich erklären warum das so ist. unglücklich
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht ganz. Es gilt

.

Nun beachte, dass x im Kern von F liegt.
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