Aufgabe zu Volumenform/n-Form

24.03.2018, 16:54	Orly	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Volumenform/n-Form Hallo, [attach]46773[/attach] Das zugehörige Kapitel im Skript habe ich jetzt 3 mal gelesen aber mir macht dieses n-Form/Volumenform Zeug immer noch keinen Sinn. Soweit ich das bis jetzt verstanden habe hängt diese Volumenform mit der Determinante zusammen. Diese Funktion wird immer dann Null, wenn im Definitionsbereich ein Vektor zwei mal vorkommt bzw. aus einer Kombination der anderen darstellbar ist (also die Funktion wird immer 0, wenn die Vektoren linear abhängig sind). Unten steht ein Hinweis die Standardform = 1 bedeutet was? Auch die darstellende Matrix M(A,F,A) habe ich noch nicht so richtig verstanden, obwohl ich mir dazu schon einige Videos angesehen habe. [attach]46774[/attach] Diese Definition finde ich in meinem Skript. Also wenn ich einen Vektor der Basis A durch diese Funktion schicke so entspricht das der Multiplikation einer Matrix (der Abbildungsmatrix?) mit einem Vektor der Basis B? Also ist M(B,F,A) die Matrix mit der ich einen Basisvektor aus B in einen Basisvektor aus A überführen kann? Weil die Matrix laut Definition (m x n) ist kann man also Basisvektoren von A von rechts multiplizieren um einen zugehörigen Basisvektor in B zu erhalten, und Basisvektoren von B werden von links multipliziert und einen Basisvektor von A zu erhalten? Gut, in der Aufgabe handelt es sich um einen Endomorphismus d.h. wir ändern mit der Matrix nur unsere Basisvektoren von A um zu anderen Basisvektoren zu A. Nun weiß ich auch noch, dass in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von A stehen. Und diese Bilder sind wieder eine Basis? Und wie komme ich denn nun auf eine Idee zu der Aufgabe, dass die Determinante der Darstellungsmatrix gleich der Determinante des Endomorphismus ist? Ich sitze hier vor einem Haufen von Puzzleteilchen und kann sie nicht schlüssig verknüpfen.
24.03.2018, 20:11	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die Aufgabe ist ziemlich abstrakt, souverän in fünf Minuten durchrechnen könnte ich sie vermutlich auch nicht. Aber es muss von der Logik her irgendwie darum gehen, die Eigenschaften der n-Form $\begin{eqnarray} \mu_0 \end{eqnarray}$ auszunutzen. Daher würde ich für $\begin{eqnarray} Fx_1, \ldots, Fx_n \end{eqnarray}$ (aus der ersten zentrierten Zeile von Bild 1) einfach mal $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^na_{i1}x_i, \ldots, \sum_{i=1}^na_{in}x_i \end{eqnarray}$ (gemäß der Definition von Bild 2) einsetzen und schauen, ob du da die Summen und Skalare rausziehen kannst. Das dürfte einen ziemlichen Salat vor dem $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ geben, ob man irgendwie schließen kann, dass der die Determinante von M(A,F,A) ist? Evtl. per Induktion versuchen, da dies für allgemeines n recht unübersichtlich werden könnte. (Für n=1 ist nichts zu zeigen und so darf man für den allgemeinen Beweis die Behauptung für n-1 bereits als bewiesen annehmen.) Evtl. hilft noch die Idee, dass man $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ auch als auf dem Raum der Matrizen definiert ansehen könnte; dann könnte man zB $\begin{eqnarray} \mu(F) \end{eqnarray}$ schreiben und damit irgendetwas Geschicktes anstellen. Aber ich glaube, die obigen Ideen sind aussichtsreicher. Werde mir das in der Zwischenzeit auch noch mal weiter durch den Kopf gehen lassen. LG sibelius84
25.03.2018, 14:41	Orly	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Mühe. Ein Kollege hat mir den Tipp gegeben, dass es was mit der Invarianz der Determinante unter einem Basiswechsel im Endomorphismus zu tun haben könnte. Jetzt habe ich mal weiter gesucht bin auf das hier gestoßen https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2595 In der ersten zentrierten Zeile steht dort ja eigentlich schon die zu beweisende Behauptung. Der darauf folgende Beweis bezieht sich ja eben dann auf einen Basiswechsel, der interessiert uns aber in unserer Aufgabe nicht, oder? Aber vielleicht können wir die Aussage der ersten zentrierten Zeile ähnlich beweisen? https://de.wikipedia.org/wiki/Determinan..._Endomorphismus Weiter bin ich dann auf diesen Wikipedia Eintrag gekommen. Ist das, was dort steht bereits mein Beweis (wobei die mit dem w das bezeichnen, was in meiner Aufgabe das $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ist?)
25.03.2018, 15:02	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte zuerst auch in diese Richtung gedacht. Die Aufgabe wäre etwas einfacher verdaulich, wenn da stünde "Betrachten Sie den \|R^n mit seiner Standardbasis E=(e_1,...,e_n)". Hier muss man aber wohl davon ausgehen, dass das geschwungene A bereits so etwas ist wie eine Standardbasis. Also keine Basistransformation. Wenn du meinen Tipp verfolgst, solltest du so etwas bekommen wie $\begin{eqnarray} \sum_{1\leq i_1,i_2,\ldots,i_n \leq n}\prod_{j=1}^n a_{ij} \mu(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in}) \end{eqnarray}$ . Nun würde ich mir wiederum überlegen, welche Eigenschaften der n-Form man geschickt ausnutzen könnte - hier "alternierend": Der Term mu(...) ganz rechts wird nur dann nicht 0, wenn kein i_k gleich dem anderen ist, sprich also: Wenn $\begin{eqnarray} (i_1,\ldots,i_n)=(\sigma(1),\ldots,\sigma(n)) \end{eqnarray}$ mit irgendeiner Permutation $\begin{eqnarray} \sigma\in S_n \end{eqnarray}$ . Evtl hilft das weiter, um schon einen Bezug zur Leibniz'schen Determinantenformel zu erkennen...?
25.03.2018, 17:25	Orly	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie komme ich immer nur so weit mit wie du mir vormachst aber es klickt noch nicht bei mir. Ich glaube ich bin auch was Permutationen und Leibnizformel angeht nicht 100% fit. Vielleicht habe ich einen alternativen Lösungsweg vorzuschlagen: Wir betrachten det(M(A,F,A)). Wenn wir die Abbildungsmatrix F in eine neue Basis A' überführen so ist die zugehörige neue Abbildungsmatrix M(A', T^-1 F T, A'). Da für jede invertierbare n x n Matrix gilt: det(T^-1)=1/det(T) ist also M(A',F,A') die neue Darstellungsmatrix. Damit ist gezeigt, dass die Abbildungsmatrix invariant unter einem Basiswechsel ist. Es folgt also det(M(A,F,A) = det(M(A',F,A') = det(F) Falls du jetzt sagst das ist doof dann gebe ich mich geschlagen und tüftle an deinem Ansatz weiter
26.03.2018, 18:49	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry - ja, ist es. Der Grund dafür ist, dass du das Gleichheitszeichen in "det(M(A',F,A')=det(F)" nicht legitimierst.
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