Berechnung eines verdrehten Bandes im Raum

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Guzzy Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung eines verdrehten Bandes im Raum
Meine Frage:
Ich habe zwei Zylinder mit unterschiedlichen Durchmessern. Sie sind wie in der Skizze dargestellt im Raum angeordnet.

Um die beiden Zylinder ist ein Gummiband geschlungen.

Ich möchte einen Computeralgorithmus erstellen, der die räumliche Position und Verdrehung des Bandes berechnet. Wie in der Skizze angedeutet soll das Band mit einem einfachen Mesh angenähert werden (d.h. die Ränder des Bandes werden mit einem Polygonzug angenähert).

In dem in der Skizze dargestellten Beispiel schneiden sich die beiden Zylinderachsen nicht und sie sind um 90 Grad verdreht. Der zu findende Algorithmus muß aber auch Fälle berücksichtigen, bei dem sich die Zylinderachsen in einem kleinen Winkel schneiden und/oder die Achsen um einen von 90 Grade verschiedenen Winkel verdreht sind.

Meine Ideen:
Auch nach längeren Überlegungen habe ich keinen Ansatz gefunden wie man das Problem angehen könnte. Ich habe auch keine Möglichkeit gefunden, die 4 Punkte zu finden, an denen das Band jeweils die Zylinderoberflächen verläßt.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung eines verdrehten Bandes im Raum
Hallo Guzzy

so ganz einfach wird dies wahrscheinlich nicht, wenn es realistisch werden soll. Zuerst will ich mal beschreiben, wie ich die Situation auffasse:
Zwei Zylinder, nennen wir sie A und B, mit Radien und , haben zueinander windschief normal stehende Achsen a und b , deren (kürzester) Abstand mit d bezeichnet werden soll.
Um diese beiden Zylinder soll nun, wie in der Zeichnung dargestellt, ein Band (mit einer Breite e) in der Art eines Transmissionsriemens geschlungen werden. Da das mit einem absolut "flachen" Band wohl nicht exakt möglich ist, begnügen wir uns vielleicht mit einem "fast" flachen Band, erlauben also eine minimale Elastizität, die aber nur zu kleinen Abweichungen führen soll. Eine Voraussetzung dafür ist wohl, dass die Breite e des Bandes klein gegenüber dem Abstand d ist. Auch die Zylinderradien und sollen gegenüber d relativ klein sein.
Für eine Lösung muss man sich nun bestimmt mit (insgesamt 4) gemeinsamen Tangenten der beiden Zylinderflächen beschäftigen. Allenfalls kann man aber anstatt der beiden Randlinien des Bandes zunächst nur dessen Mittellinie betrachten (und damit nur 2 gemeinsame Tangenten der Zylinder) und dann von dieser Mittellinie aus die Randlinien approximativ rekonstruieren.
Ein Problem sehe ich dann noch darin, dass wir wohl nicht annehmen dürfen, dass z.B. der Bogen, längs dessen die Mittellinie des Bandes z.B. an der Zylinderfläche A anliegt, in einer zur Achse a normal stehenden Ebene liegt. Stattdessen müssen wir wohl (um deutliche Fehler zu vermeiden), für diesen Bogen eine Schraubenlinie annehmen.
Insgesamt sehe ich da also schon nicht eine ganz simple Aufgabe ....
 
 
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung eines verdrehten Bandes im Raum
Hallo Guzzy,

ich habe den Teil der Aufgabe, in welchem es nur einmal um die Bestimmung der "Mittellinie" des Riemens geht, in einem anderen Forum eingebracht:

http://www.matheraum.de/read?t=1090867

Wenn du dir den dortigen Thread zu Gemüte führst, wirst du erkennen, dass schon dieser Teil der Aufgabe (insbesondere mit verschiedenen Zylinderradien) nicht so leicht ist. Zur Lösung muss man ein nicht so einfaches, nichtlineares Gleichungssystem lösen.
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