Messbarkeit von Mengen nachweisen

25.03.2018, 16:07

manuel459

Messbarkeit von Mengen nachweisen

Hi Leute,

ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher, wäre toll wenn das jemand kommentieren könnte:

Es sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,F) \end{eqnarray*}$ ein messbarer Raum und $\begin{eqnarray*} X,Y:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ messbare Abbildungen.
Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{\omega \in \Omega:X(\omega)<Y(\omega)\} \end{eqnarray*}$ messbar ist.

Ich bin so vorgegangen:

X messbar heißt, dass $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb{N}: X^{-1}(\{x_n\})\in F \qquad und \qquad X(\omega)=\{x_1,x_2,...\} \end{eqnarray*}$ . Bei Y analog.
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \exists I\subset \mathbb{N}:\forall \omega \in \Omega:X(\omega)<Y(\omega):X(\omega)=x_i\qquad für\qquad i\in I \end{eqnarray*}$ , woraus folgt, dass

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{n\in \mathbb{N}}X^{-1}(\{x_n\})\in F = \{\omega\in\Omega:X(\omega)<Y(\omega)\} \end{eqnarray*}$ .

Ist das so richtig?

Danke und LG

25.03.2018, 20:57

HAL 9000

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Wieso nimmst du an, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur abzählbar viele Werte annehmen kann? Das wird nicht vorausgesetzt. unglücklich

25.03.2018, 21:08

manuel459

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Ach, stimmt...

Könntest du mir ev. einen Hinweis zum Ansatz geben? Unter Verwendung der eigentlichen Definition von Messbarkeit mit a<b etc finde ich keinen Weg das ordentlich hinzuschreiben.

Vielen Dank smile

25.03.2018, 21:11

HAL 9000

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Der ultimative Tipp ist

$\begin{eqnarray*} \left\{\omega \in \Omega:\; X(\omega) < Y(\omega) \right\} = \bigcup_{q\in\mathbb{Q}} \left\{\omega \in \Omega:\; X(\omega) < q < Y(\omega) \right\} \end{eqnarray*}$ ,

wobei genutzt wird, dass die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in den reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dicht liegen.

26.03.2018, 14:26

manuel459

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Super, ich habs raus Freude

Vielen Dank smile

26.03.2018, 14:41

IfindU

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Wenn du weisst, dass die Differenz zweiter Zufallsvariablen wieder eine Zufallsvariable ist, so kann man auch die Identität
$\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega: X(\omega) < Y(\omega) \} = (X-Y)^{-1}( (-\infty, 0) ) \end{eqnarray*}$ benutzen. Und offenbar ist $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ offen, insb. Borel.

26.03.2018, 14:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Wenn du weisst, dass die Differenz zweier Zufallsvariablen wieder eine Zufallsvariable ist

Wobei das m.W. ja üblicherweise mit so einer Technik wie eben nachgewiesen wird.

26.03.2018, 14:58

IfindU

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Ich hatte für die Vektorraumeigenschaft der messbaren Funktionen eher an folgendes gedacht:
Messbare Funktionen sind punktweise Grenzwert von einfachen Funktionen. Und aus Linearität des punktweisen Grenzwertes und der Vektorraumeigenschaft von einfachen Funktionen (folgt aus der Sigma-Algebra-Eigenschaft der messbaren Mengen) folgt es dann.

Ist natürlich die Frage was man an Theorie voraussetzt.

26.03.2018, 15:05

manuel459

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jetzt habe ich doch noch eine Frage.

Ich habe die Behauptung nun gezeigt, indem ich verwendet habe, dass
$\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega:X(\omega)>c\} \forall c\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ messbar ist.
Wie kann ich das nun beweisen?

26.03.2018, 15:08

HAL 9000

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Du weißt aber schon, was die Borel-Sigmaalgebra so alles beinhaltet?

$\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in\Omega:\;X(\omega)>c\right\} \end{eqnarray*}$ ist nur eine andere Schreibweise für das Urbild $\begin{eqnarray*} X^{-1}\left( \left(c,\infty\right) \right) \end{eqnarray*}$ .

26.03.2018, 15:16

manuel459

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Danke!

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