Stetigkeit der Gammafunktion

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accc Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der Gammafunktion
Hi, ich soll zeigen, dass die Gammafunktion stetig ist.
Ich habe bereits gezeigt, dass das uneigentliche Integral (s. hier: wikipedia.org/wiki/Gammafunktion#Definition), welches die Integraldarstellung der Gammafunktion ist, absolut konvergiert. Reicht das nicht schon aus? Weil wenn eine Funktion integrierbar ist, ist sie ja auch stetig oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der Gammafunktion
Hallo,

leider nicht.
Eine integrierbare Funktion muss nicht stetig sein (sieh dir Treppenfunktionen an). Bei dir ist der Integrand zwar stetig, aber das sollst du gar nicht zeigen. Im Integranden gibt es ja noch einen Parameter, von dem das Integral abhängt. Und diese Abhängigkeit soll stetig sein.

Mit anderen Worten: Für jeden Wert der Gamma-Funktion integrierst du eine andere Funktion. Wenn du Folgenstetigkeit nachweisen willst, kannst du also zeigen, dass die Integrale einer Funktionenfolge gegen das Integral von deren Grenzfunktion konvergieren.
accc Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich zeige, dass gleichmäßig auf [a,b] konvergiert und stetig in x >0 und t ist, folgt dann hieraus

[attach]46790[/attach]

das was ich zeigen soll?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

An sich schon, genau das bräuchtest du. Allerdings hast du hier keine kompakten Mengen; vor allem kein beschränktes Intervall als Integrationsgebiet.

Hattet ihr vielleicht schon den Satz von Lebesgue?
accc Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte ursprünglich den Beweis von hier genommen: Theorem 2.1.4 und dann mit dem Korollar vom vorigen Post argumentiert.

web.mst.edu/~lmhall/SPFNS/sfch2.pdf

Bezüglich Satz von Lebesgue, wir haben ihn definitiv nicht unter diesem Namen gemacht aber ich denke das geht in die richtige Richtung:

[attach]46791[/attach]
accc Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage noch zu dem Beweis vom pdf: wird da bei den Ungleichungen angenommen, dass t>0 ist? Darf man das?
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Satz aus dem Bild: Der geht zwar ein bisschen in die Richtung, aber er gilt leider nur für beschränkte Integrationsintervalle (und er fordert gleichmäßige Konvergenz).

In der pdf wird da aber der entscheidende Trick vorgenommen: Du wendest diesen Satz auf ein Teilintervall an, z.B. . Auf dem Rest, also nutzt du einen anderen Satz, der die Beschränktheit der Integranden nutzt.

D.h. du teilst das Integral in zwei Teile auf, deren Konvergenz du jeweils mit einem anderen Satz zeigst.

Und ja, darf man da natürlich annehmen. Immerhin ist dort die Integrationsvariable und es wird von bis integriert (Aufpassen, falls ihr für die Gamma-Funktion andere Variablennamen habt).
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