Wahrscheinlichkeit gleicher Häufigkeiten 6 aus 49

25.03.2018, 18:21

Liene_2018

Wahrscheinlichkeit gleicher Häufigkeiten 6 aus 49

Hallo,
bei unendlichen Ziehungen würden sich ja die Häufigkeiten alle Zahlen angleichen.
Bei 1000 Ziehungen würde sich ein Erwartungswert von 122 Ziehungen je Zahl ergeben.
Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, d.h. wie weit bin ich von "unendlichen Ziehungen" entfernt smile

?

Gruß und Danke fürs Bemühen

25.03.2018, 18:47

G250318

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RE: Wahrscheinlichkeit gleicher Häufggkeiten 6 aus 49
Welche WKT genau willst du berechnen? Bitte genau formulieren.
Wie kommst du auf 122? verwirrt

25.03.2018, 23:10

Liene_2018

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RE: Wahrscheinlichkeit gleicher Häufggkeiten 6 aus 49
Hallo,

ich denke, der Erwartungswert für die Häufigkeit aller 49 Zahlen bei 1000 Ziehungen ist:
6/49*1000

wenn man 1.000 Ziehungen simuliert, liegen auch alle Werte um 122.
Wenn man 10.000 Ziehungen simuliert ist die Erwartungswert 1.224 und die realen Zahlen schwanken deutlich geringer um diesen Wert!

Wenn nun weitere höhere Ziehungen realisiert werden, werden die Differenzen zwischen dem Erwartungswert und Häufigkeiten der einzelnen Zahlen natürlich immer geringer.

Ich wollte wissen, ob man z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Ziehungen alle Zahlen die Häufigkeit von 122 haben, irgendwie ermitteln kann

Danke und Gruß

26.03.2018, 03:29

Dopap

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Ich nehme an, dass die Zusatzzahl bei einer Ziehung unberücksichtigt bleibt.

Auf lange Zeit und über alle Ziehungen gemittelt nähert sich die relative Häufigkeit einer Zahl tatsächlich $\begin{eqnarray*} \frac 6 {49} \approx 0.12214 \end{eqnarray*}$ an.
Die absolute Häufigkeit einer Zahl nähert sich aber nicht dem Erwartungswert seiner Häufigkeit an.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau der Erwartungswert der absoluten Häufigkeit erzielt wird nimmt mit steigender Ziehungsanzahl ab.

26.03.2018, 04:22

Dopap

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Ich nehme an, dass die Zusatzzahl bei einer Ziehung unberücksichtigt bleibt.

Auf lange Zeit und über alle Ziehungen gemittelt nähert sich die relative Häufigkeit einer Zahl tatsächlich $\begin{eqnarray*} \left(\frac 6 {49}\right)^* \approx 0.12214 \end{eqnarray*}$ an.
Die absolute Häufigkeit einer Zahl nähert sich aber nicht dem Erwartungswert seiner Häufigkeit an.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau der Erwartungswert der absoluten Häufigkeit erzielt wird nimmt mit steigender Ziehungsanzahl ab.
----------------------------------------------
(*) das Ergebnis der hypergeometrischen Funktion mit N=49, S=1, n=6, X=1

26.03.2018, 09:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Liene_2018
Ich wollte wissen, ob man z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Ziehungen alle Zahlen die Häufigkeit von 122 haben, irgendwie ermitteln kann

So gefragt ist das einfach zu beantworten: Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich Null:

Bei 1000 Ziehungen werden insgesamt 6000 Zahlen gezogen, es ist aber $\begin{eqnarray*} 122\cdot 49 = 5978\neq 6000 \end{eqnarray*}$ . Also kann das mit dem "genau 122 für alle 49 Zahlen" nicht klappen. smile

Ansonsten: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmmte Zahl in einer Ziehung auftaucht, ist gleich $\begin{eqnarray*} p=\frac{6}{49} \end{eqnarray*}$ . Die Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ziehungen, in denen diese Zahl auftaucht, ist dementsprechend binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ , was für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ approximativ Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{eqnarray*}$ entspricht.

26.03.2018, 10:37

Liene_2018

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Hallo,

und danke für die Antworten.
Natürlich ist 122 gerundet, nochmal meine Frage in "Umgangssprache":

realisieren ich 1000 Ziehungen, schwanken die Häufigkeiten der Zahlen um den Wert von
6/49*1000 = 122 (gerundet), siehe ich 5000 mal, schwanken die Häufigkeiten um 6/49*5000 = 612 (gerundet, weiß nicht, wie man Rundungszeichen einfügt)

Die Abweichungen zwischen den realen Häufigkeiten und 612 bei 5000 Ziehungen sind natürlich kleiner als die Abweichungen der Häufigkeiten bei 1000 Ziehungen.

Ich wollte nun vor verschiedenen Ziehungen ein Maß für die Annäherung an den jeweiligen Wert von 122, 612 usw. finden. Ist das überhaupt möglich?

Danke und sorry für die "unwissenschaftliche" Ausdrucksweise

26.03.2018, 11:47

HAL 9000

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Wenn es nur um eine Zahl geht, dann kannst du mit der erwähnten Binomialverteilung/Normalverteilung abschätzen, welche Abweichungen wie wahrscheinlich sind.

Wenn du aber alle 49 Zahlen mit ihren Auftretensanzahlen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots,X_{49} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ziehungen zugleich betrachten willst, dann wäre anratsam ein geeignete Kenngröße für die Abweichungen vom Erwartungswert zu betrachten, z.B. $\begin{eqnarray*} Y:= \max_{k=1,2,\ldots,49} \left| X_k - E(X_k) \right| \end{eqnarray*}$ o.ä. Deren Verteilung ist dann allerdings schon nicht mehr so einfach zu bestimmen - in erster Näherung könnte man die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ als unabhängig betrachten (was sie in Wahrheit aber nicht sind), um ungefähr die Größenordnung abzuschätzen.

Zitat:

Original von Liene_2018
Die Abweichungen zwischen den realen Häufigkeiten und 612 bei 5000 Ziehungen sind natürlich kleiner als die Abweichungen der Häufigkeiten bei 1000 Ziehungen.

Wenn du "relativ" statt "real" meinst, dann liegst du richtig.

26.03.2018, 13:28

Dopap

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Anstatt nur eine Zahl zu messen kann man doch gleich alle 49 Zahlen mit einbeziehen.

Als Mass der Abweichung aller 49 Zahlen bietet sich die $\begin{eqnarray*} \Chi^2 \end{eqnarray*}$ Verteilung an.

Auch Diese hat einen Erwartungswert und eine nicht leicht zu berechnende Varianz. d.h. ein zu kleiner Wert von $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ ist verdächtig ("geschönte Zahlen" in Publikationen ), ebenso wie ein zu großer Wert ( Ist dieser SpielWürfel unverfälscht ?)

26.03.2018, 13:37

HAL 9000

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Du redest von $\begin{eqnarray*} T:= \frac{1}{np(1-p)} \sum_{k=1}^{49} \left( X_k - np\right)^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{6}{49} \end{eqnarray*}$ ? Und die ist (nehme ich an) für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ näherungsweise $\begin{eqnarray*} \chi^2_{48} \end{eqnarray*}$ -verteilt? verwirrt

26.03.2018, 14:57

Dopap

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ja, genau, mit $\begin{eqnarray*} f=n-1= 48 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden. Ich kenne es so:

$\begin{eqnarray*} \chi^2=\frac 1{np}\sum_{k=1}^{n}( X_i - np)^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E(\chi^2)=f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(\chi^2)\approx 2f \end{eqnarray*}$

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