Verstehe Umformungen nicht (unbestimmtes Integral)

26.03.2018, 10:40

lakds

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Verstehe Umformungen nicht (unbestimmtes Integral)

Hi, ich benötige Hilfe, um folgende Umformungen zu verstehen:
$\begin{eqnarray*} \omega \in \mathbb{C}, Re(\omega)<0 \end{eqnarray*}$

[attach]46788[/attach]

Im ersten Schritt wird der sinus anders angeschrieben und folgends verwendet:
[attach]46789[/attach]
Warum kann man das so machen bzw warum gilt das?

Danach wird denke ich integriert, aber ich sehe nicht ganz wie?

Und dann quadriert man rechts aber was geschieht links??
Das ganze geht irgendwie zu schnell für mich Hammer

Hammer

Der letzte Schritt ist klar.

Danke!

26.03.2018, 11:02

klarsoweit

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RE: Verstehe Umformungen nicht (unbestimmtes Integral)

Zitat:

Original von lakds
Warum kann man das so machen bzw warum gilt das?

Verstehe die Frage nicht. Bilde doch mal die Ableitungen nach omega.

Zitat:

Original von lakds
Danach wird denke ich integriert, aber ich sehe nicht ganz wie?

Nutze beispielsweise $\begin{eqnarray*} e^{\omega x} \cdot e^{ix} = e^{(\omega + i)x} \end{eqnarray*}$ . Davon kannst du dann bequem eine Stammfunktion bilden. smile

smile

26.03.2018, 11:39

lakds

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Ich verstehs nicht, langsam bitte Hammer

Hammer

Was passiert im 1. Schritt?

26.03.2018, 11:43

klarsoweit

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Dann rechne doch bitte mal $\begin{eqnarray*} \frac{\partial e^{\omega x}}{\partial \omega} \end{eqnarray*}$ aus.

26.03.2018, 13:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von lakds
Warum kann man das so machen bzw warum gilt das?

Das ist der bei Physikern einigermaßen beliebte Feynman-Trick, der sich seit dessen Erwähnung in einer Big-Bang-Theory-Folge einer gewissen Bekanntheit erfreut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2018, 14:08

lakds

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$\begin{eqnarray*} xexp(\omega x) \end{eqnarray*}$

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26.03.2018, 15:15

klarsoweit

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Sind damit deine Fragen beantwortet?

26.03.2018, 15:33

lakds

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Nein bis auf den letzten Schritt ist weiterhin alles genauso unverständlich wie im ausganspost geschildert

26.03.2018, 15:38

klarsoweit

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Erstaunt mich etwas. Nun denn. Da du ja nun $\begin{eqnarray*} \frac{\partial e^{\omega x}}{\partial \omega} \end{eqnarray*}$ korrekt bestimmt hast, würde ich es mal mit $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 e^{\omega x}}{\partial \omega^2} + 2 \frac{\partial e^{\omega x}}{\partial \omega} \end{eqnarray*}$ versuchen. smile

smile

26.03.2018, 15:52

lakds

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Ableiten und Stammfunktionen bilden kann ich. Die Identität verstehe ich, warum man das außerhalb des Integrals schreiben kann ist nach wie vor unklar. Beim Integrieren komme ich (und der PC) auf etwas anderes als in Zeile 3 steht. Danach passiert irgendeine Magie und dann nochmal

Aber wenn es für dich so trivial ist, dann antworte doch bitte in mehr als 5 Wörtern

26.03.2018, 16:03

klarsoweit

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Der Operator $\begin{eqnarray*} (\frac{\partial^2}{\partial \omega^2} + 2 \frac{\partial}{\partial \omega}) \end{eqnarray*}$ hat mit der Integration über x nicht zu tun und kann wie ein konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden. Der Rest ist dann "Stammfunktion" bilden, was du ja kannst.

Wenn du zu einem konkreten Teil noch eine Frage hast, beantworte ich die gerne, aber ich schreibe mir nicht auf Verdacht die Finger wund.

26.03.2018, 18:23

Guppi12

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Da muss ich widersprechen. Es ist nicht so klar, warum man diesen Operator vor das Integral ziehen kann. Man muss prüfen, ob die Voraussetzungen für Sätze über Parameterintegrale erfüllt sind (was sie hier sind).

28.03.2018, 17:27

lakds

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Die Unklarheiten stehen im 1. Beitrag.

Wenn du diese nicht beantworten kannst oder willst, dann lass es jmd anders übernehmen

29.03.2018, 08:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von lakds
Im ersten Schritt wird der sinus anders angeschrieben und folgends verwendet:
[attach]46789[/attach]
Warum kann man das so machen bzw warum gilt das?

Also daß obiges gilt, dürfte inzwischen hoffentlich klar sein. Mit dem Satz über Parameterintegrale kann mal also schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int (\frac{\partial^2}{\partial \omega^2} + 2 \frac{\partial}{\partial \omega}) e^{\omega x} \cdot sin(x) ~dx = (\frac{\partial^2}{\partial \omega^2} + 2 \frac{\partial}{\partial \omega}) \int e^{\omega x} \cdot sin(x) ~dx \end{eqnarray*}$

Bleibt noch $\begin{eqnarray*} \int e^{\omega x} \cdot sin(x) ~dx \end{eqnarray*}$ . Da wird der Integrand etwas umgeformt:

$\begin{eqnarray*} e^{\omega x} \cdot sin(x) = e^{\omega x} \cdot \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = - \frac 1 2 i \cdot e^{\omega x} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) = - \frac 1 2 i \cdot (e^{(\omega + i) x} - e^{(\omega - i) x}) \end{eqnarray*}$

Also gerade die letzte Umformung ist nun wirklich kein Hexenwerk. Und was noch bleibt, ist die Integration der e-Funktion.

30.03.2018, 14:46

lakds

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Danke, etwas klarer geworden.

Also ich komme auf das:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}i\frac{d^2}{d\omega^2}+2\frac{d}{d\omega}\int e^{(w+i)x}-e^{(w-i)x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-\frac{1}{2}i\frac{d^2}{d\omega^2}+2\frac{d}{d\omega})(\frac{e^{(w+i)x}}{w+i}-\frac{e^{(w-i)x}}{w-i}) \end{eqnarray*}$

Wo mache ich den Fehler?

Also die Fragen die noch offen sind:
Wie kommt man auf
$\begin{eqnarray*} =(-\frac{1}{2}i\frac{d^2}{d\omega^2}+2\frac{d}{d\omega})(\frac{-1}{w+i}-\frac{-1}{w-i}) \end{eqnarray*}$ anstatt von dem was ich habe?

Und wird jetzt im nächsten Schritt abgeleitet oder was? Wenn ja wie leitet man $\begin{eqnarray*} \frac{d^2}{dw^2} \end{eqnarray*}$ ab? Kenne nur die Notation f'(x)

Und der nächste Schritt ist auch noch unklar was da passiert.

30.03.2018, 15:36

lakds

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Ok konnte das Problem jetzt lösen. Fehlt nur mehr was beim zweiten und dritten "=" Zeichen passiert

31.03.2018, 17:45

lakds

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ok hat sich erledigt

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