Teilvolumen eines liegenden Zylinders mit Kugelsegmenten

26.03.2018, 14:17

Kagnerac

Teilvolumen eines liegenden Zylinders mit Kugelsegmenten

Hallo Leute,

ich habe zur Zeit das Problem, dass ich das Volumen eines liegenden Zylindertanks berechnen möchte in Abhängigkeit des Füllstands. Dieser Tank hat an den Enden Kugelsegmente, die die ganze Berechnung für mich überhaupt so schwierig machen. Ich kann das Volumen des zylindrischen Teils des Tanks in Abhängigkeit der Füllhöhe berechnen und auch das Gesamtvolumen der Kugelsegmente, aber nicht das Teilvolumen.

Ich habe dazu im Forum auch schon gesucht, aber leider nichts passendes gefunden. Konkret wurde das ganze Problem schon in
dem Thema "liegender Zylinder" ausgiebig diskutiert, jedoch bin ich der Meinung, dass der Lösungsvorschlag dort nicht ganz richtig ist. Die Lösung dort erfolgte über diesen Ansatz:
[attach]46796[/attach]
Allerdings denke ich, dass man dann Folgendes erhält wenn man von vorne auf das Kugelsegment draufschaut:
[attach]46797[/attach].

Habe ich einen Denkfehler? Und wenn nicht, wie bekomme ich das Volumen ansonsten raus?

Gruß und Danke schon mal

27.03.2018, 07:47

Bürgi

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RE: Teilvolumen eines liegenden Zylinders mit Kugelsegmenten
Guten Morgen,

ich habe skizziert, wie ich die Aufgabe verstehe:

[attach]46799[/attach]

Schiebt man die beiden Halbkugeln zusammen, erhält man eine Kugel. Die Flüssigkeit am Boden dieser Kugel bildet einen Kugelabschnitt, dessen Volumen ist:

$\begin{eqnarray*} V_{\text{KugAbschnitt}}= \frac13 \cdot \pi \cdot h^2 \cdot(3r-h) \end{eqnarray*}$

Da Du das Volumen der Flüssigkeit im zylindrischen Teil des Tanks berechnen kannst, ist hiermit das Problem - soweit ich das verstehe! - beseitigt.

27.03.2018, 08:33

Kagnerac

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RE: Teilvolumen eines liegenden Zylinders mit Kugelsegmenten
Morgen,

deine Lösung würde doch nur funktionieren wenn die Kugelsehne (s im ersten Bild) und die Höhe h identisch sind. In dem Fall wären meine Kugelsegmente Halbkugeln.

Leider sind bei mir s und h unterschiedlich. Konkret ist s=625mm und h=220mm. Wenn ich meine Körper zusammenlege habe ich eher ein Ellipsoid.

27.03.2018, 09:36

Bürgi

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RE: Teilvolumen eines liegenden Zylinders mit Kugelsegmenten
Hallo,

wenn ich zwei Halbkugeln zu einer Kugel zusammenfüge, erhalte ich eine Kugel. Und ein ebener Schnitt durch eine Kugel ergibt einen Kreis. Eine Ellipse kommt dabei nicht vor.
Im Übrigen ist die Sehnenlänge bei der Berechnung des Kugelabschnittsvolumen nicht nötig.

27.03.2018, 10:02

Kagnerac

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RE: Teilvolumen eines liegenden Zylinders mit Kugelsegmenten

Zitat:

Original von Bürgi
[...]wenn ich zwei Halbkugeln zu einer Kugel zusammenfüge[...]

Aber ich habe doch eben keine Halbkugeln. Für Halbkugel gilt r=h, aber bei mir ist r>h.

Zitat:

Original von Bürgi
Im Übrigen ist die Sehnenlänge bei der Berechnung des Kugelabschnittsvolumen nicht nötig.

Das stimmt zwar, aber da die Sehnenlänge in dieser Betrachtung meinem Füllvolumen entspricht möchte ich meine Berechnungen davon abhängig machen.

27.03.2018, 10:24

HAL 9000

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Vielleicht sollte man sich erstmal klar und deutlich über die Form des Tanks einig werden:

Bürgis Skizze zeigen einen Zylindertank, der an beiden Enden jeweils durch eine Halbkugel abgeschlossen wird. Da gab es von deiner Seite soweit keine Proteste, also nehme ich mal an, dass wir über genau so einen Tank reden. Von einem nichtkugelförmigen Ellipsoiden ist hier weit und breit nichts zu sehen.

Zitat:

Original von Kagnerac
Aber ich habe doch eben keine Halbkugeln. Für Halbkugel gilt r=h, aber bei mir ist r>h.

Völlig unverständliche Anmerkung. Mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir laut Bürgis Skizze doch hier den Füllstand, für den gilt $\begin{eqnarray*} 0\leq h\leq 2r \end{eqnarray*}$ (variabel).

Der einzige Tankparameter, der hier noch nicht symbolmäßig benannt wurde, ist die Zylinderhöhe (in der gegenwärtigen Tanklage eher eine "Länge"), nennen wir sie $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kagnerac

Zitat:

Original von Bürgi
Im Übrigen ist die Sehnenlänge bei der Berechnung des Kugelabschnittsvolumen nicht nötig.

Das stimmt zwar, aber da die Sehnenlänge in dieser Betrachtung meinem Füllvolumen entspricht möchte ich meine Berechnungen davon abhängig machen.

Eine weitere rätselhafte Anmerkung. Erstaunt1

Zitat:

Original von Kagnerac
Leider sind bei mir s und h unterschiedlich. Konkret ist s=625mm und h=220mm.

Das ist doch der Normalfall, dass die beiden unterschiedlich sind! Beide hängen über Pythagoras $\begin{eqnarray*} \left( \frac{s}{2}\right)^2 + (r-h)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ mit dem (Halb-)Kugelradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ zusammen, hier mit deinen Werten bedeutet das dann $\begin{eqnarray*} r = \frac{s^2+4h^2}{8h} \approx 332mm \end{eqnarray*}$ .

Ob du also (bei bekanntem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ !) das Füllvolumen in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ oder in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ darstellst, ist doch rum wie num. Allerdings ist es mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eindeutig, mit $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ aber nicht: Weil es jeweils zwei verschiedene Füllhöhen $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} h_2=2r-h_1 \end{eqnarray*}$ gibt, die dieselbe Sehnenlänge $\begin{eqnarray*} s_1=s_2 \end{eqnarray*}$ aufweisen, d.h., die bloße Angabe von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist nicht ausreichend, man muss jeweils noch dazu sagen, ob der Tank weniger oder mehr als halbvoll ist. Augenzwinkern

27.03.2018, 10:46

Kagnerac

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vielleicht sollte man sich erstmal klar und deutlich über die Form des Tanks einig werden:

Bürgis Skizze zeigen einen Zylindertank, der an beiden Enden jeweils durch eine Halbkugel abgeschlossen wird. Da gab es von deiner Seite soweit keine Proteste, also nehme ich mal an, dass wir über genau so einen Tank reden. Von einem nichtkugelförmigen Ellipsoiden ist hier weit und breit nichts zu sehen.

Zitat:

Original von Kagnerac
Aber ich habe doch eben keine Halbkugeln. Für Halbkugel gilt r=h, aber bei mir ist r>h.

Ich habe mich auf das Bild bezogen, dass ich im ersten Beitrag reingestellt habe. Dort entspricht h der Höhe des Kugelabschnitts und s der Länge der Kreissehne. Mein Tank sieht im übrigen ungefähr so aus:
[attach]46800[/attach]

Es sind also keineswegs Halbkugeln an den Enden.

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Kagnerac

Zitat:

Original von Bürgi
Im Übrigen ist die Sehnenlänge bei der Berechnung des Kugelabschnittsvolumen nicht nötig.

Das stimmt zwar, aber da die Sehnenlänge in dieser Betrachtung meinem Füllvolumen entspricht möchte ich meine Berechnungen davon abhängig machen.

Eine weitere rätselhafte Anmerkung. Erstaunt1

Ich meinte natürlich die Füllhöhe, nicht das Füllvolumen, da habe ich mich vertan.

27.03.2018, 11:42

HAL 9000

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Ok, es geht also nicht um den von Bürgi skizzierten Tank, sondern um was anderes. Er hat aber wenigstens das ganze von drei Seiten skizziert, so dass man sich den Tank vorstellen kann. Bei

Zitat:

Original von Kagnerac
Mein Tank sieht im übrigen ungefähr so aus:
[attach]46800[/attach]

kann ich das zumindest noch nicht, da ich nicht weiß, ob das ein Quer- oder Längsschnitt durch den Tank sein soll. unglücklich

27.03.2018, 12:05

Kagnerac

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Das ist der Längsschnitt, das was bei Bürgis Skizze als "von der Seite" bezeichnet wurde. Die Vorderansicht meines Tanks ist mit seiner Skizze identisch, eine Ansicht von oben habe ich gerade nicht parat.

27.03.2018, 13:03

HAL 9000

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Ok, langsam lichtet sich der Nebel: Du hast als Kugelsegmente mit Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und Sehnenlänge $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ an beiden Ende eines Zylinders (der dann natürlich auch Durchmesser $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ hat). Die Füllstandshöhe ist deiner ersten Skizze nach dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Das Volumen des im Querschnitt da orange gefärbten Körpers ist tatsächlich nicht ganz einfach zu berechnen: Sei $\begin{eqnarray*} t=\frac{s}{2} \end{eqnarray*}$ die halbe Sehnenlänge. Dann haben wir das Volumen

$\begin{eqnarray*} V &=& \int\limits_{t-a}^t \int\limits_{\sqrt{r^2-t^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} 2\sqrt{r^2-x^2-y^2} \dd x ~ \dd y = \int\limits_{t-a}^t \left[ (r^2-y^2)\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{r^2-y^2}}\right)+x\sqrt{r^2-x^2-y^2} \right]_{x=\sqrt{r^2-t^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} ~ \dd y\\ &=& \int\limits_{t-a}^t \left[ (r^2-y^2)\arccos\left(\sqrt{\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}}\right)-\sqrt{(r^2-t^2)(t^2-y^2)}\right] ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Kannst ja dein Glück versuchen, ob du auch noch die y-Integration hinbekommst. Augenzwinkern

27.03.2018, 14:05

Kagnerac

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Ich werde es versuchen. Könntest du mir denn noch erklären wie du auf den Ansatz gekommen bist, momentan kann ich das nicht so ganz nachvollziehen.

27.03.2018, 14:21

HAL 9000

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Ich betrachte deine obere Skizze im ersten Posting als xy-Ebene, die orangene Fläche ist dann das Integrationsgebiet.

$\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ liegt in der zu deinem Kugelsegment gehörenden Vollkugel, wenn $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2\leq r^2 \end{eqnarray*}$ . Für festes $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} -\sqrt{r^2-x^2-y^2}\leq z\leq \sqrt{r^2-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ , also ergibt die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Integration den Wert $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{r^2-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ , soviel zum Integranden.

Nun zur orangenen Fläche: Integriert wird von $\begin{eqnarray*} y=t-a \end{eqnarray*}$ bis zu $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , stell dir einfach die y-Achse in deiner ersten Skizze nach unten gerichtet vor. Und zu jedem festen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert wird von $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{r^2-t^2} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-(t-a)^2} \end{eqnarray*}$ integriert, d.h. von der linken geraden Kante bis zum rechten Kreisbogen. Zu beachten ist dabei der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-t^2}=r-h \end{eqnarray*}$ .

04.04.2018, 11:41

Kagnerac

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Hallo,

mir ist es mittlerweile mit einiger Hilfe aus dem Forum gelungen die y-Integration durchzuführen. Allerdings sieht mein Ergebnis nach der x-Integration etwas anders aus, da ich mir nicht sicher war wie du auf das arccos gekommen bist und ich daher nochmal nachgerechnet habe:

$\begin{eqnarray*} V &=& \int\limits_{t-a}^t \int\limits_{\sqrt{r^2-t^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} 2\sqrt{r^2-x^2-y^2} \dd x ~ \dd y = \int\limits_{t-a}^t \left[ (r^2-y^2)\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{r^2-y^2}}\right)+x\sqrt{r^2-x^2-y^2} \right]_{x=\sqrt{r^2-t^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} ~ \dd y\\ &=& \int\limits_{t-a}^t \left[\frac{\pi}{2}*(r^2-y^2)+(y^2-r^2)\arcsin\left(\sqrt{\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}}\right)-\sqrt{(r^2-t^2)(t^2-y^2)}\right] ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Das ganze habe ich dann in 3 Integrale aufgeteilt und berechnet:

$\begin{eqnarray*} I1 &=& \int\limits_{t-a}^t \ \frac{\pi}{2} *(r^2-y^2)\dd y = \frac{-pi*t}{6}*(t^2-3r^2)+\frac{pi*(t-a)}{6}*((t-a)^2-3r^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I2 &=& \int\limits_{t-a}^t \ (y^2-r^2)*\arcsin(\frac{\sqrt{r^2-t^2}}{\sqrt{r^2-y^2}})\dd y = \arcsin(\sqrt{\frac{r^2-t^2}{r^2-t^2}})*(\frac{t^3}{3}-t*r^2)-\arcsin(\sqrt{\frac{r^2-t^2}{r^2-(t-a)^2}})*(\frac{(t-a)^3}{3}-(t-a)*r^2)+\sqrt{r^2-t^2}*\sqrt{r^2-(t-a)^2}*\sqrt{\frac{(t-a)^2-t^2}{(t-a)^2-r^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I3 &=& \int\limits_{t-a}^t \ \sqrt{r^2-t^2}*\sqrt{t^2-y^2}\dd y =\sqrt{r^2-t^2} *(\frac{pi*t^2}{4}-\frac{t^2*arcsin(\frac{t-a}{t})}{2}-\frac{(t-a)*\sqrt{t^2-(t-a)^2}}{2}) \end{eqnarray*}$

Leider kommt bei mir mit dieser Lösung nicht das gesuchte Ergebnis. Ich habe folgender Werte:
r=997,784mm
t=625mm

Meine Variable ist ja die Füllhöhe a. Ich weiß vom Tankhersteller, dass bei einer Füllhöhe von 450mm das Volumen meiner Kreissegmente ca. 75L betragen muss. Wenn ich die 450mm jedoch in meine Lösung einsetzt erhalte ich ca. -244L. Offensichtlich habe ich irgendwo einen Fehler. Ich weiß es ist schwierig bei solchen Termen einen Überblick zu haben, aber ich wäre dennoch jedem dankbar, der mal drüber guckt und vielleicht einen Fehler erkennt.

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