Aus rekursiver Folge Bildungsgesetz bestimmen

26.03.2018, 16:51

Franz12

Aus rekursiver Folge Bildungsgesetz bestimmen

Meine Frage:
Hallo!
könnte mir jemand helfen; wie man so etwas rechnet?

Meine Ideen:
Ich habe keine Ansätze)) Helft mir bitte

26.03.2018, 19:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Franz12
Ich habe keine Ansätze

Musst du ja auch gar nicht, denn der ist doch schon vorgegeben - du musst ihn nur nutzen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_n = a_n+b \end{eqnarray*}$ mit geometrischer Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und einer Konstanten $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

Geometrische Folge heißt $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 q^{n-1} \end{eqnarray*}$ , dies in die Rekursionsvorschrift $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{6}{8}x_n-5 \end{eqnarray*}$ einsetzen, Koeffizientenvergleich - schon hat man $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Den Wert von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ bekommt man schließlich noch über das gegebene $\begin{eqnarray*} x_1=-21 \end{eqnarray*}$ .

27.03.2018, 04:10

Franz12

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Was genau muss ich in die Formel einsetzen? Zahlen die ich aus der rekursiven Formel ausrechne? Oder Formel in die Formel?

Und was muss ich in der letzen Aufgabe tun?

Danke!

27.03.2018, 06:04

HAL 9000

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Natürlich "Formel in Formel", d.h., da kommt zunächst

$\begin{eqnarray*} a_1q^n + b = \frac{3}{4}\left( a_1q^{n-1} + b \right) - 5 \end{eqnarray*}$

heraus. Die Parameter $\begin{eqnarray*} a_1,q,b \end{eqnarray*}$ sind nun so zu wählen, dass diese Gleichung für alle (!) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, und das führt auf den erwähnten Koeffizientenvergleich. Zudem muss (wie erwähnt) als weitere Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1 = a_1 + b \stackrel{!}{=} -21 \end{eqnarray*}$ gelten.

27.03.2018, 15:55

Franz12

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Ich verstehe den Ausduck leider nicht... Wie soll ich diese Werte wählen? Anscheinend ist Mathe nicht mein Ding

27.03.2018, 18:57

Kääsee

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Da HAL9000 noch nicht geantwortet hat:
@Franz12: du musst einfach die Klammer auflösen bzw. so umklammern, dass du dann jeweils auf beiden Seiten einen Faktor vor $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ und vor $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ stehen hast. Diese müssen auf beiden Seiten übereinstimmen (also Koeffizienten vergleichen).

27.03.2018, 19:33

mYthos

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@Kääsee
Es gibt neben $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} q^{n-1} \end{eqnarray*}$ , und der Koeffizientenvergleich erfolgt nicht nach b und $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ , diese sind selbst die zu berechnenden Koeffizienten.
-----------

Zugegeben, der Koeffizientenvergleich ist hier etwas unkonventionell, daher soll dies näher erklärt werden:
Zu vergleichen sind die Koeffizienten des Ausdrucks in der Variablen $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ .
Diese tritt in der Potenz 1 und 0 auf, letzterer Ausdruck ist daher konstant.

Ordne also nach den Potenzen von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_1q^n + b = \frac{3}{4}a_1q^{n-1} + \frac{3}{4}b - 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \left(q^n - \frac 3 4q^{n-1}\right) + \frac b 4 + 5 = 0 \end{eqnarray*}$

Da auf der rechten Seite Null steht, müssen die beiden Koeffizienten links ebenfalls Null werden:

$\begin{eqnarray*} (1) \ q^n - \frac 3 4q^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \frac b 4 + 5 = 0 \end{eqnarray*}$
-------------------------
Aus beiden Gleichungen kann nun bequem $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ berechnet werden, b wird (aus Gleichung 2) klar sein, bei der Gleichung 1 dividiere durch $\begin{eqnarray*} q^{n-1} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Letztendlich berechnest du $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ wie schon beschrieben ...

mY+

28.03.2018, 16:04

Franz12

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Danke vielmals) Ihr habt mir sehr geholfen

28.03.2018, 16:43

Kääsee

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Zitat:

Original von mYthos
@Kääsee
Es gibt neben $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} q^{n-1} \end{eqnarray*}$ , und der Koeffizientenvergleich erfolgt nicht nach b und $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ , diese sind selbst die zu berechnenden Koeffizienten.
+

Ja ok, das stimmt. Beim nochmaligen Lesen meiner Antwort habe ich mich sehr missverständlich ausgedrückt. Sorry.

28.03.2018, 16:55

Franz12

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Danke! Dabei kam heraus $\begin{eqnarray*} X_(n)=(-1)(3/4)^{n-1}-20 \end{eqnarray*}$

Limes von dieser Folge ist -20

Dürfte Ich noch Fragen, wie Ich den kleinsten Index bestimme?

28.03.2018, 20:24

mYthos

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Also setzst du in der "Epsilontik" für x den Grenzwert -20 ein:

$\begin{eqnarray*} \big|-\left(\frac 3 4 \right)^{n-1} - 20 - (-20) \big| < 0.05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 3 4 \right)^{n-1} < 0.05 \end{eqnarray*}$

So. Jetzt muss logarithmiert werden, um nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufzulösen.
Beachte dabei, dass die Logarithmusfunktion stetig und monoton für positive Argumente und im Bereich $\begin{eqnarray*} ]0; 1[ \end{eqnarray*}$ negativ ist.
Somit hast du nach dem Logarithmieren die Ungleichung mit (-1) zu multiplizieren (beide Seiten sind negativ) und daher das Relationszeichen umzukehren (!)

Bei richtiger Rechnung sollte dein Resultat $\begin{eqnarray*} m = 12 \end{eqnarray*}$ sein.

mY+

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