Existenz von uneigentlichem Integral

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anderson94 Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz von uneigentlichem Integral
Sehr geehrte Community,

Ich sitze gerade an meinem wöchentlichen Analysis II Übungsblatt und komme bei einer Teilnummer nicht sorecht weiter. Hier erstmal die Angabe:

Bestimmen sie alle , für die das uneigentliche Integral

konvergiert.
Es steht dabei noch der HInweis, dass eine Substitution hiflreich wäre. gesagt getan.

als erstes habe ich mal substituiert und erhalte dann das Integral (die kleinen zwischenschritte lasse ich mal aus ):

so dann schauen wir uns mal an was bei verschiedenen passiert.

wenn dann ist der doch gleich 0 für alle da exp in diesem Fall immer schneller gegen unendlich strebt. Jetzt gäbe es doch eine konstante L sodass das Integral von würde ja existiren für t <=1 jedoch fängt ja mein Integral bei 0 an. wenn ich das dann aufspalte in zwei Integrale, wobei eins von 0 bis 1 geht und das andere von 1 bis unendlich dann würde letzteres Konvergieren jedoch das von 0 bis 1 divergieren. somit für alpha > 1 exisitert es mal nicht. So ähnlich bekomme ich das für alpha=1 und <1 bzw, dass es halt immer divergiert. Irgendwie kommt mir das aber komisch bzw. falsch vor ;D hätte da jemand vielleicht eine Idee? habe ich vielleicht falsch substituiert?

würde mich um jede Hilfe sehr freuen.

lg anderson

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Substitution scheint mir in Ordnung!

Es muss alpha groß genug sein, damit das Integral am rechten Ende konvergiert. (Das beta ist dort egal, weil e-Funktion stärker als Polynom / Potenz.)
Es muss beta klein genug sein, damit das Integral am linken Ende konvergiert. (Das alpha ist dort egal, weil e^0=1.)

Für beta kleinergleich 0 ist übrigens das linke Integralende noch nicht mal uneigentlich.

LG
sibelius84
anderson94 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort sibelius84!

Also könnte ich das Integral ja ma aufteilen in die Aufteilung dürfte ich ja machen, da ich mich ja für das konvergente Integral interessiere.

Nun müssen beide Teile "gleichzeitig" konvergieren.

Betrachte:

wenn ich nun wähle dann stünde ja das t^beta im Zähler und somit hätte ich keine Probleme bei 0. Wie du es sagtest, wäre es dann garnicht uneigentlich und somit konvergent. das alpha ist in diesem Fall egal, solange oder?

Betrachte Nun :

wenn ich nun mein wähle dann geht die Funktion gegen 0 bei t->unendlich da e funkiton schneller gegen unendlich geht bei als t mit jedem beta gegen 0 oder unendlich. Müsste auch stimmen oder? Reicht diese argumentation dass die Funktion dann gegen 0 geht für meine Konvergenz von es müsste ja schnell gegen 0 gehen was bei der e funktion ja eigentlich der fall wäre.


Insgesamt gilt dann für konvergent bei oder habe ich noch Fälle übersehen?

lg
anderson
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anderson94
Insgesamt gilt dann für konvergent bei oder habe ich noch Fälle übersehen?

Hast du: Das erste Integral betreffend gibt es auch Fälle, wo das Integral uneigentlich ist und dennoch konvergiert - die hast du noch nicht erfasst.
anderson94 Auf diesen Beitrag antworten »

Servus HAL 9000

ich probiers mal:

also damit das Integral: uneigentlich bleibt, muss das t auf jedenfall mal im Nenner bleiben oder? damit ich dann /0 habe im Grenzwert. Damit das geht muss oder? Wie sollte das Integral dann kovergent sein ? exp kann ich ja je nach wahl von alpha im Nenner oder im Zähler haben. Da iich beim zweiten Integral fordern muss, dass (da beide Teile gleichzeitig konvergent sein müssen, also für gleiches alpha bzw beta) sehe ich nicht so ganz wie das zu einer Konvergenz führen sollte, kann aber auch sein, dass ich grad in eine andere Richtung denke traurig

lg anderson
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für und haben wir z.B. .
 
 
anderson94 Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt das Integral konvergiert. aber wenn ich mir dann mein zweites Integral anschaue:
und alpha=1 ist dann schaut es ja mal so aus und damit das Konvergiert muss laut meinem Skriptum das beta > 1 sein. Beim ersten Integral muss bei alpha=1 ja beta <1 sein und somit konvergieren beide nicht bei alpha=0 und beta <1. Oder habe ich da einen Denkfehler? geschockt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fassen wir mal richtig zusammen:

a) konvergiert genau dann, wenn ist (dabei ist beliebig wählbar).

b) konvergiert genau dann, wenn ist, oder aber und .

Das bedeutet in der Konsequenz, dass beide zugleich genau dann konvergieren, wenn und ist - schlichte Logik.
anderson94 Auf diesen Beitrag antworten »

genau das meinte ich ja, denn der Fall, dass alpha=0 ist, kann beide Integrale nicht gleichzeitig konvergieren lassen, da sie verschiedene betas bräuchten Freude somit ist der Fall mit alpha=0 hinfällig. Ich hoffe, dass ich das doch richtig im Kopf habe. In diesem Sinne danke ich euch herzlich für eure Hilfe Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, irgendwie seltsam, dass du den Fall besonders auszeichnest, weil der hier nun wirklich gar keine Bedeutung besitzt - wenn es um eine "Randlage" geht, dann wäre ja wohl eher diskussionswürdig.
anderson94 Auf diesen Beitrag antworten »

haha hoppla natürlich meinte ich alpha = 1 und NICHT 0 Big Laugh
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