Wurzelausdruck vereinfachen

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27.03.2018, 21:23

Newbii

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Wurzelausdruck vereinfachen

Hallo,

wie kann man den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3-\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

vereinfachen?

27.03.2018, 22:19

mYthos

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Das kann dann funktionieren, wenn der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 3 - \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ seinerseits ein Quadrat eines Binoms ist. Hier klappt das sogar ...

Setze: $\begin{eqnarray*} 3 - \sqrt 5 = (a + b)^2 \end{eqnarray*}$ und berechne passende a, b mittels Koeffizientenvergleich.
-----------------------------

[ $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac 5 2} - \sqrt{\frac 1 2} = \frac 1 2(\sqrt{10} - \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ]

mY+

27.03.2018, 23:06

rumar

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RE: Wurzelausdruck vereinfachen
Hallo,

zuerst habe ich nicht verstanden, was gemeint ist.

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\,-\,\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ lässt sich nämlich kaum vereinfachen.
Was du aber gemeint hast, ist wohl eher der Term

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \left(3\, - \, \sqrt{5}\,\right)} \end{eqnarray*}$

Damit man diesen Term wirklich erkennt, ist die Darstellung
mittels Formeleditor notwendig oder sonst halt eben
eine ausreichende Beklammerung (wie hier).

LG

28.03.2018, 00:59

mYthos

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@rumar

Die Darstellung von Newbii ist eindeutig und auch richtig in LaTeX geschrieben.
Die kleine Wurzel steht unter der großen. Eine Klammer ist hier nicht erforderlich.
Könnte es sein, dass dir da dein Browser einen Streich spielt?

mY+

28.03.2018, 12:04

rumar

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Latex Anzeige unvollständig
Hallo mYthos,

was bei mir angezeigt wurde, sieht so aus:

[attach]46806[/attach]

Die "große" Wurzel ist da nur vorne angedeutet, aber das "Dach" fehlt !

(mein Browser: Safari auf Mac - kann da das Problem liegen ?)

LG , rumar

28.03.2018, 15:20

HAL 9000

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RE: Latex Anzeige unvollständig

Zitat:

Original von rumar
(mein Browser: Safari auf Mac - kann da das Problem liegen ?)

Sieht zumindest ganz danach aus: Es scheint oben was abgeschnitten zu sein - es fällt ja auch auf, dass das Wurzelzeichen bei der 3 unnatürlich kurz aussieht im Vergleich zu dem Wurzelzeichen bei der 5.

28.03.2018, 15:31

willyengland

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Mich würde da noch die Lösung interessieren.
Verstehe nicht, wie das mit dem Binom geht.

28.03.2018, 15:59

HAL 9000

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mYthos hat es doch schon geschrieben - in Kurzform nochmal: $\begin{eqnarray*} 3-\sqrt{5} = \frac{1}{4} \left( 10 - 2\sqrt{10\cdot 2} + 2 \right) = \left( \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Ist natürlich Glückssache, dass das hier so aufgeht, das ist bei $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ eher selten der Fall.

28.03.2018, 16:11

G280318

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Wie soll da ein normaler Schüler draufkommen? verwirrt

Ohne ein Beispiel vorher gerechnet zu haben, halte ich das für fast unmöglich.

28.03.2018, 16:26

HAL 9000

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Immer diese jammernden Bedenkenträger: Es muss ja auch nicht immer nur Aufgaben geben, die sog. "normale" Schüler beherrschen. Mitunter gibt es auch Aufgaben, die eben vielleicht nur ein paar wenige findige Köpfe herausbekommen.

Wer z.B. schon mal vom goldenen Schnitt $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{eqnarray*}$ gehört hat, kennt bzw. kann ausrechnen $\begin{eqnarray*} \lambda^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ , und von dort ist es nicht mehr weit bis zur Lösung.

Das sollte man hier sowieso nicht so bierernst nehmen: Problemstellungen vom Typ "Vereinfache den Ausdruck ..." sind so vage in ihrer Zielvorgabe, dass sie meist eh nicht als wirklich bewertbare Aufgaben taugen. Augenzwinkern

28.03.2018, 16:33

Mathema

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RE: Latex Anzeige unvollständig

Zitat:

Original von rumar
(mein Browser: Safari auf Mac - kann da das Problem liegen ?)

Bei mir sieht es ganz normal aus. Merkwürdig. verwirrt

Zitat:

Verstehe nicht, wie das mit dem Binom geht.

Du wirst doch wohl ein Binom auflösen können?! Aus $\begin{eqnarray*} 3-\sqrt{5}=a^2+b^2-2ab \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} (1):\quad a^2+b^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2):\quad 2ab=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Das führt dann auf eine biquadratische Gleichung. Ob der Term nun aber "einfacher" wird sei mal dahingestellt. Ich meine IfindU hat hier mal eine schöne Definition dieses Operators dargelegt...

edit: Term vereinfachen in Klausur 0Punkte

28.03.2018, 21:00

willyengland

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Zitat:

Original von G280318
Wie soll da ein normaler Schüler draufkommen? verwirrt

Ohne ein Beispiel vorher gerechnet zu haben, halte ich das für fast unmöglich.

Sehe ich auch so.
Sogar jetzt, wo ich die Lösung kenne, wüsste ich nicht, wie ich darauf kommen kann.
Das wäre vielleicht was für eine Mathe-Olympiade.
Wirklich vereinfacht sieht mir die Lösung auch nicht aus.

28.03.2018, 21:44

mYthos

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@willy

Es geht genau so, wie es mathema ausführlich weiter aufgeschrieben hat.
FALLS unter der Wurzel ein Quadrat stehen sollte, dann hat es doch die Form $\begin{eqnarray*} (a + b)^2 \end{eqnarray*}$ , (die Wurzel daraus ist dann $\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ ) .

Dann setzt man dieses gleich $\begin{eqnarray*} 3 - \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ , macht einen Koeffizientenvergleich nach Ganzzahl und Wurzelkoeffizient und bekommt damit die Gleichungen (das System) für a und b.

Da bei der biquadratischen Gleichung die Lösungen für $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ ("zufällig") rational sind, stellt dann das Ergebnis hinsichtlich des Wegfalls der verschachtelten Wurzeln wohl eine Vereinfachung dar.

mY+

29.03.2018, 11:10

willyengland

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RE: Latex Anzeige unvollständig

Zitat:

Original von Mathema
Du wirst doch wohl ein Binom auflösen können?! Aus $\begin{eqnarray*} 3-\sqrt{5}=a^2+b^2-2ab \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} (1):\quad a^2 + b^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2):\quad 2ab=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Woher weiß ich, dass man das gerade so setzen muss und nicht z.B.

$\begin{eqnarray*} (1):\quad a^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2):\quad 2ab + b^2=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

29.03.2018, 11:17

HAL 9000

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Es geht hier um einen Trial-und-Error-Weg, der zudem auch nur in seltenen Fällen klappt (s.o.). Da kannst du noch so oft nach einem idiotensicheren Weg hier fragen, den gibt es nicht und kann es auch gar nicht geben. Augenzwinkern

----------------------------------------------

Man kann es z.B. auch so sehen: Ansatz $\begin{eqnarray*} 3-\sqrt{5} = \frac{1}{c} (a+b\sqrt{5})^2 \end{eqnarray*}$ mit der strengeren Vorgabe, dass $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ ganzzahlig (!) sein sollen.

Wir wissen von vornherein nicht, ob es eine solche Lösung überhaupt gibt. Aber wenn, dann ergibt Ausmultiplizieren $\begin{eqnarray*} (3-\sqrt{5})c = a^2+5b^2 + 2ab\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ , und dann muss wegen der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3c &=& a^2+5b^2\\ -c &=& 2ab \end{eqnarray*}$

gelten. Jetzt kann man für verschiedene $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ "probieren", ob man eine ganzzahlige Lösung hinkriegt. Der zweiten Gleichung wegen muss $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ja auf alle Fälle durch 2 teilbar sein, der Versuch mit $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ führt dann auch gleich zum Erfolg $\begin{eqnarray*} a=-1,b=1 \end{eqnarray*}$ .

29.03.2018, 11:45

willyengland

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Ok, verstehe.
Danke!

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