Ungleichung

28.03.2018, 09:31

StefenMathe2

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Ungleichung

Hallo,
es geht um folgende Ungleichug:

$\begin{eqnarray*} 1\leq \int_0^1 \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2} } } }{1+x^2} dx \leq \frac{1}{4-2\sqrt{2} } e^{(1-\frac{1}{\sqrt{2} }) } \end{eqnarray*}$

Diese soll mit dem ersten MWS der Integralrechnung bewiesen werden.
Ich nehme also ein Intervall [0,1] definiere mein $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\frac{x}{\sqrt{2} } } \end{eqnarray*}$ . Diese ist stetig als Komposition stetiger Funktionen. Dann $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{1+x^2} \geq 0 \forall x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Diese ist riemannintegrierbar. Dann kann ich dem MWS anwenden:
$\begin{eqnarray*} \exists \xi \in [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e^{\frac{\xi}{\sqrt{2} } }\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx \end{eqnarray*}$ .
Wie schätze ich das jetzt ab.
Das Integral ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ aber das hilft mir nicht weiter?
Ist mein Vorgehen falsch? verwirrt

verwirrt

28.03.2018, 10:06

IfindU

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RE: Ungleichung
Sicher, dass du den Satz für die Ungleichung benutzen sollst? Die rechte Ungleichung ist trivial, weil der Integrand in $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 -1 \end{eqnarray*}$ ein globales Maximum in [0,1] annimmt.

28.03.2018, 10:07

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Ja ich muss es leider mit dem MWS machen. Also ist meine Überlegung falsch?

28.03.2018, 11:09

IfindU

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RE: Ungleichung
Ist die Frage was du damit nun machen willst. Worst-Case wäre $\begin{eqnarray*} \xi = 0 \end{eqnarray*}$ , und damit bekommst du vermutlich nicht die Abschätzung hin.

28.03.2018, 11:12

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Wie wende ich dann hier den MWS der Integralrechnung an?

28.03.2018, 11:16

IfindU

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RE: Ungleichung
Man könnte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als kompletten Integranten definieren und $\begin{eqnarray*} g = 1 \end{eqnarray*}$ . Ist unnöitg indirekt, aber geht.

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28.03.2018, 11:55

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Heißt das ich habe sowas:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{\xi}{\sqrt{2} } } }{1+\xi^2} \int_0^1 1 dx =<br /> \frac{e^{\frac{\xi}{\sqrt{2} } } }{1+\xi^2} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich dann weiter abschätzen?

28.03.2018, 12:06

IfindU

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RE: Ungleichung
Das ist eine stetige Funnktion in $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Nimmt also das Maximum an. Dagegen kannst du es abschätzen. Vermutlich siehst du jetzt warum es praktisch das gleiche ist was ich vorher vorgeschlagen hab. (Daher indirekt)

28.03.2018, 12:11

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Aha.
Das globale Maximum bestimme ich dann einfach über die Ableitung?

28.03.2018, 12:24

IfindU

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RE: Ungleichung
Zum Beispiel. Es ist dann aber noch zu vergleichen, ob die Funktion an den Intervallgrenzen nicht noch größer ist.

28.03.2018, 13:21

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Aso smile

smile

Die Abschätzung nach unten für die 1 bekomme für $\begin{eqnarray*} \xi = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Die Frage ist jetzt, ob man die Abschätzung mit dem 2. MWS verbessern kann?

28.03.2018, 13:41

IfindU

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RE: Ungleichung
Man muss ein wenig argumentieren, warum das Minimum in $\begin{eqnarray*} \xi = 0 \end{eqnarray*}$ angenommen wird, aber ja.

Die getroffenen Abschätzungen sind nicht scharf. D.h. es geht. Im Notfall wendet man den Satz gar nicht/trivial an, und bestimmt den exakten Wert des Integrals. Wie es "einfach" geht, d.h. wie es die Aufgabe vermutlich will, weiß ich aber spontan nicht.

28.03.2018, 13:50

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Was meinst du mit dem Satz trivial anwenden?

28.03.2018, 16:51

IfindU

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RE: Ungleichung
Dass man ihn nicht wirklich anwendet, sondern schummelt. Also ich weiß nicht wie man es wirklich mit dem Satz macht. Kannst ja ein wenig basteln.

28.03.2018, 17:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Man könnte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als kompletten Integranten definieren und $\begin{eqnarray*} g = 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von IfindU
Also ich weiß nicht wie man es wirklich mit dem Satz macht.

Das ist aber ein schlechtes Gedächtnis: Oben noch alles richtig erklärt, und es jetzt nicht mehr wissen wollen? Big Laugh

Big Laugh

Ok, vermutlich meinst du es anders. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2018, 17:09

IfindU

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von StefenMathe2
Die Frage ist jetzt, ob man die Abschätzung mit dem 2. MWS verbessern kann?

Meine Antwort bezog sich darauf. Offenbar sind die Ungleichungen oben alles andere als scharf. Mir ist nicht klar, ob eine Aufteilung f,g existiert, so dass der Satz auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ angewandt eine bessere Abschätzung liefert.

28.03.2018, 19:12

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Die Ungleichung steht so da. Das mit dem f und g habe ich mir so ausgedacht damit ich irgendwie den MWS anwenden kann.
Die 2. Frage war, ob man die Abschätzung verbessern kann mit 2. MWS der Integralrechung. Aber ich verstehe noch nie wie?

29.03.2018, 11:12

HAL 9000

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von StefenMathe2
Die 2. Frage war, ob man die Abschätzung verbessern kann mit 2. MWS der Integralrechung.

Jedenfalls nicht durch die vielleicht "naheliegenden" Versuche $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{\frac{x}{\sqrt{2}}} \end{eqnarray*}$ - da ergibt die Rechnung jeweils schlechtere Abschätzungen als gefordert.

Es gibt allerdings auch alternative Wege (ohne MWS) um beispielsweise eine vernünftige untere Schranke zu finden:

Basierend auf der Exponentialreihe gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{\sqrt{2}}} \geq 1+ \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x^2}{4} \end{eqnarray*}$ mit Integral

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \frac{1+ \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x^2}{4}}{1+x^2} ~ \dd x = \int\limits_0^1 \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1+x^2} + \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2x}{1+x^2} \right) ~ \dd x = \frac{4+3\pi + 4\sqrt{2}\ln(2)}{16} \approx 1.0841 \end{eqnarray*}$

Das ist schon deutlich näher dran an dem (durch numerische Auswertung erhaltenen) tatsächlichen Integralwert

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{1+x^2} ~ \dd x \approx 1.0945 \end{eqnarray*}$ .

29.03.2018, 11:20

StefenMathe2

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RE: Ungleichung
Das mit de Reihe ist ein richtig schöner Weg smile

smile

D.h also das der 2. Mittelwertsatz keine bessere Abschätzung liefert.
Woran liegt das eigentlich?

29.03.2018, 11:37

HAL 9000

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Es geht ja um $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x)g(x) ~ \dd x = f(\xi)\cdot \int\limits_a^b g(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ und darauf basierend dann um die Einschachtelung

$\begin{eqnarray*} \inf_{\xi\in [a,b]} f(\xi)\cdot \int\limits_a^b g(x) ~ \dd x \leq \int\limits_a^b f(x)g(x) ~ \dd x \leq \sup_{\xi\in [a,b]} f(\xi)\cdot \int\limits_a^b g(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Die Abschätzung dürfte um so besser sein, je "gleichförmiger" $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall ist - idealerweise eine Konstante, denn dann haben wir jeweils Gleichheit. D.h., die Kunst ist eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} f\cdot g \end{eqnarray*}$ des Integranden zu finden, so dass Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine geringe relative (!) Schwankungsbreite im Integrationsintervall aufweist und zugleich $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ geschlossen integrierbar ist. Tja, und das ist offenbar nicht unbedingt trivial. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2018, 11:50

StefenMathe2

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Aso danke

smile

Langsam verstehe ich die MWS immer besser smile

smile

Freude

Ich habe noch eine Frage zur Abschätzung nach unten.
Wir hatten ja: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{\xi}{\sqrt{2} } } }{1+\xi^2} \int_0^1 1 dx =<br /> \frac{e^{\frac{\xi}{\sqrt{2} } } }{1+\xi^2} \end{eqnarray*}$

Die Frage isr, wie man arugmentiert,dass \xi=0 das Minimum ist?

29.03.2018, 11:58

HAL 9000

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Du hast doch sicher die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ bestimmt, sowie deren Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 = \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ . Weiter kann man dort feststellen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x<x_0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_0<x<1 \end{eqnarray*}$ .

D.h., $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\sqrt{2}-1] \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und im Intervall $\begin{eqnarray*} [\sqrt{2}-1,1] \end{eqnarray*}$ monoton fallend. Damit liegt das globale Minimum im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ entweder bei Stelle 0 oder bei Stelle 1, die beiden wären also zu überprüfen.

29.03.2018, 19:02

StefenMathe2

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Vielen Dank smile

smile

Jetzt ist alles klar smile

smile

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