Lineare Hülle = Basis?

28.03.2018, 16:33	jannik97	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Hülle = Basis? Meine Frage: Hallo, ich sitze momentan bei der Klausurvorbereitung und hänge ein bisschen am Begriff "lineare Hülle" eines Vektorraums und wie die "Hülle" verstehen soll. Meine Ideen: Ich habe es jetzt so verstanden, dass die lineare Hülle eines Vektorraums einfach eine Basis als Linearkombination geschrieben ist. Also z.B. für $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ wäre die lineare Hülle: $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Stimmt das so? Und muss es die Standardbasis sein oder ist es egal welche Basis man nimmt? Weil wenn es egal ist, müsste es ja mehrere lineare Hüllen geben.
28.03.2018, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die lineare Hülle $\begin{eqnarray} <M> \end{eqnarray}$ einer Teilmenge $\begin{eqnarray} M\subseteq V \end{eqnarray}$ eines Vektorraums $\begin{eqnarray} V/K \end{eqnarray}$ ist der kleinste UVR von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , der $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ enthält (das rechtfertigt die Bezeichnung "Hülle"). Die lineare Hülle $\begin{eqnarray} <M> \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist auch charakterisiert als Durchschnitt aller UVRe von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ enthalten. Die lineare Hülle $\begin{eqnarray} <M>=\{\sum_{k=1}^na_kv_k:a_k\in K,v_k\in M\} \end{eqnarray}$ ist die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Die lineare Hülle einer Basis ist also der ganze Raum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , in deinem Besipiel besteht die Basis aus 2 Vektoren, der $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ aus unendlich vielen Vektoren. Eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist eine minimale Menge, deren lineare Hülle der ganze Vektorraum ist, eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist ein minimales Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Eine lineare Hülle $\begin{eqnarray} <M> \end{eqnarray}$ ist das Erzeugnis eines Erzeugendensystems $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ .

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