Beweise zu Idempotenten Abbildungen

28.03.2018, 23:41

Tobias83

Beweise zu Idempotenten Abbildungen

Hallo Zusammen,
ich habe folgende Aufgabe zulösen. Die Teile a und b sind glaube ich relativ einfach und von mir richtig gelöst. Viel schwerer tue ich mir bei den Teilen c und d. Es wäre super wenn ihr mir sagen würdet ob meine Lösungen richtig sind bzw. ob meine Idee richtig ist.

Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und L ein Endomorphismus in V. L heißt idempoten wenn gilt
$\begin{eqnarray*} L \circ L=L \end{eqnarray*}$

a) Wenn L idempoten und regulär dann ist L = id

Seien $\begin{eqnarray*} A^{n,n} \in V \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} A=L \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} L \circ L =L \Rightarrow L \circ L(x) =L(x) \Rightarrow L(L(x))=L(x) \Rightarrow A*A(x)=A(x) \end{eqnarray*}$
Aus L regulär $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A regulär
Aus A regulär $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists A^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^{-1}*A=id \end{eqnarray*}$
zz. $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ idempoten und regulär $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L = id \end{eqnarray*}$
Wegen den überlegungen oben ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} A * A (x)= A(x) \Rightarrow A = id \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} A * A (x)= A(x) \Rightarrow A^{-1} A * A (x)= A^{-1} A(x) \Leftrightarrow A = id \Rightarrow A =id \Rightarrow L=id \end{eqnarray*}$

b)Finden Sie ein Beispiel für einen idempotenten Endomorphismus mit L $\begin{eqnarray*} \neq id \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Beweis
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \ L \circ L = L \\ \end{eqnarray*}$
und offensichtlich gilt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq id \end{eqnarray*}$

c) Zeigen Sie L idempotent, so ist die Summe Kern(L) + Bild(L) direkt.
Zu zeigen ist
1. Kern(L) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Bild(L)={0}
2. Jedes Element aus V lässt sich als linearkombiantion aus dem Bild und den Kern darstellen

zu 1.
Sei $\begin{eqnarray*} x \in Kern(L) \cap Bild(L) \Rightarrow x \in Kern(L) \wedge x \in Bild(L) \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} x \in Kern(L) \Rightarrow L(x)=0 \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} x \in Bild(L) \Rightarrow \exists y \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L(y)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=L(x) = L(L(y)) = L(y)=x \Rightarrow Kern(L) \cap Bild(L)=\{0\} \end{eqnarray*}$

zu 2.
Habe ich keine Richtige Idee wie ich es zeigen kann.

d)Beweisen Sie L idempotent, so gilt $\begin{eqnarray*} V=Kern(L) \oplus Bild(L) \end{eqnarray*}$
Aus L ist ein Endomorphismus $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ L ist Linear.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Kern(L) und Bild(L) sind Unterverktorräume von V.
U $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ Kern(L) und W $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ Bild(L)
Nach Aufgabenteil c gilt für $\begin{eqnarray*} Kern(L) \cap Bild(L)=\{0\} \Rightarrow U \cap W =\{0\}\Rightarrow V=Kern(L) \oplus Bild(L) \end{eqnarray*}$

29.03.2018, 13:26

Elvis

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Das sieht alles ganz vernünftig aus, und hier kommt der letzte Krümel.

$\begin{eqnarray*} x\in V\Rightarrow x=x-L(x)+L(x)=(1-L)(x)+L(x)=:u+v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L(u)=L((1-L)(x))=(L-L^2)(x)=(L-L)(x)=0\Rightarrow u\in ker(L) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=L(x)\Rightarrow v\in im(L) \end{eqnarray*}$

29.03.2018, 17:28

Tobias83

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Danke. Die Lösungsidee sieht ja nach einer simplen 0-Addition aus. Ich würde es nun wie folgt aufschreiben da mich die "1" etwas verunsichert
$\begin{eqnarray*} x\in V\Rightarrow x= x -L(x)+L(x)= (id-L)(x)+L(x)=:u+v L(u)= L(id-L)(x))=(L-L^2)(x)=(L-L)(x)=0 \Rightarrow u\in Kern(L) v=L(x)\Rightarrow v\in Bild(L) \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} L(u)=L((1-L)(x))=(L-L^2)(x)=(L-L)(x)=0\Rightarrow u \in ker(L) \end{eqnarray*}$

Ich vermute diese Zeile ist so, da der Kern alle Elemente beinhaltet die auf 0 Abbilden.

29.03.2018, 18:52

Elvis

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Ja, die Identität id, das ist die identische Abbildung, ist das Einselement der Endomorphismenalgebra End(V). Wenn man lange genug Algebra gemacht hat, nennt man jedes Einselement 1 und jedes Nullelement 0, falls das nicht zu Verwechslungen führen kann.

30.03.2018, 22:59

Tobias83

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Danke für die Hilfe

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