Bedingte Erwartung mit sigma-Algebra

29.03.2018, 11:26

Seminar

Bedingte Erwartung mit sigma-Algebra

Meine Frage:
Hallo Community,

sei $\begin{eqnarray*} F_{n} \end{eqnarray*}$ die sigma-Algebra generiert durch $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ .
Weiter seien $\begin{eqnarray*} Y_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} F_{n} \end{eqnarray*}$ - messbar.
Sei $\begin{eqnarray*} Y_{n} = min\left(S_{n},W \right)\cdot C_{1} - C_{2} - n\cdot \lambda \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} C_{1},C_{2} \end{eqnarray*}$ und n Konstanten sind und $\begin{eqnarray*} S_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} X_{i} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kann man als Skalierungsvariable sehen.

Folgende Fragen:

1. Was bedeutet die folgende bedingte Erwartung?

$\begin{eqnarray*} E\left(Y_{n+1}|F_{n}\right) \end{eqnarray*}$

2. Warum gilt folgende Gleichheit?

$\begin{eqnarray*} min\left\{ n \geq 1 | Y_{n} \geq E\left(Y_{n+1}|F_{n}\right) \right\} = min\left\{ n \geq 1 | \left(W-S_{n}\right)^{+} - E\left(\left(W - S_{n} - X_{n+1}\right)^{+}|F_{n}\right) \leq \frac{\lambda}{C_{1}} \right\} \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Hatte lange überlegt, aber anscheinend fängt bei mir die Unklarheit an, was die Bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen bedingt auf die Sigma-Algebra bedeutet und wie man damit umgeht.

06.04.2018, 10:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seminar
2. Warum gilt folgende Gleichheit?

$\begin{eqnarray*} min\left\{ n \geq 1 | Y_{n} \geq E\left(Y_{n+1}|F_{n}\right) \right\} = min\left\{ n \geq 1 | \left(W-S_{n}\right)^{+} - E\left(\left(W - S_{n} - X_{n+1}\right)^{+}|F_{n}\right) \leq \frac{\lambda}{C_{1}} \right\} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in Ungleichung $\begin{eqnarray*} Y_n \geq E\left(Y_{n+1} \mid F_n\right) \end{eqnarray*}$ ergibt zunächst

$\begin{eqnarray*} \min\left(S_n,W\right)\cdot C_1-C_2-n\lambda \geq E\left( \min\left(S_n+X_{n+1},W\right)\cdot C_1-C_2-(n+1)\lambda \mid F_n\right) = E\left( \min\left(S_n+X_{n+1},W\right) \mid F_n\right)\cdot C_1 -C_2-(n+1)\lambda \end{eqnarray*}$ .

Unter der Annahme $\begin{eqnarray*} C_1>0 \end{eqnarray*}$ ergibt das umgestellt

$\begin{eqnarray*} E\left( \min\left(S_n+X_{n+1},W\right) \mid F_n\right) - \min\left(S_n,W\right) \leq \frac{\lambda}{C_1} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \min(a,b) = \min(a-b,0)+b = -\max(b-a,0)+b = b-(b-a)^+ \end{eqnarray*}$ , damit ist letztere Gleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} E\left( W-\left(W-S_n-X_{n+1}\right)^+ \mid F_n\right) - W + \left(W-S_n\right)^+ \leq \frac{\lambda}{C_1} \end{eqnarray*}$ .

Tja, das ist schon fast das von dir gewünschte, wenn man noch $\begin{eqnarray*} E\left( W \mid F_n\right) = W \end{eqnarray*}$ hätte - ist das zufällig vorausgesetzt bzw. aus den Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ableitbar (über die hast du dich nämlich noch gar nicht geäußert) ? verwirrt

Zitat:

Original von Seminar
1. Was bedeutet die folgende bedingte Erwartung?

$\begin{eqnarray*} E\left(Y_{n+1}|F_{n}\right) \end{eqnarray*}$

[...]

aber anscheinend fängt bei mir die Unklarheit an, was die Bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen bedingt auf die Sigma-Algebra bedeutet und wie man damit umgeht.

Ich weiß nicht, ob hier der geeignete Ort ist, diesbezügliches Grundlagenwissen zu vermitteln. Das ist nicht in ein, zwei Sätzen getan, da braucht es gewöhnlich mehrere Vorlesungsstunden, bevor sich da wirklich sowas wie Verständnis entwickelt.

18.04.2018, 16:18

Seminar

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Entschuldigung, aber hatte vergessen zu schreiben, dass W eine Konstante ist und damit wäre die von dir geforderte Voraussetzung gegeben!

Vielen Dank für die Hilfe!

Bezüglich des bedingten Erwartungswertes:
Habe schon viel mit bedingten Erwartungen zu tun gehabt, aber leider ist mir die Bedingte Erwartung einer Zufallsvariable bedingt auf eine Sigma-Algebra (die zudem noch durch Zufallsvariablen generiert wurde) nicht bekannt.

Viele Grüße,

Seminar

18.04.2018, 16:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seminar
Habe schon viel mit bedingten Erwartungen zu tun gehabt, aber leider ist mir die Bedingte Erwartung einer Zufallsvariable bedingt auf eine Sigma-Algebra (die zudem noch durch Zufallsvariablen generiert wurde) nicht bekannt.

Das wundert mich, denn eigentlich ist das ja die Grundform der bedingten Erwartung, d.h., so wie sie maßtheoretisch definiert wird. Alles andere ist davon abgeleitet, d.h., für eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist dann beispielsweise $\begin{eqnarray*} E(X \mid Y) := E(X \mid \sigma(Y)) \end{eqnarray*}$ definiert - so kenne ich es.

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