Simpson-Regel: Anzahl Intervalle

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Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »
Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Hallo miteinander

Ich habe folgendes gegeben: . Für h > 0 und x aus Omega sei sowie die Länge von .
Sei zudem

Für h > 0 habe ich die folgenden Mittelungen definiert:


Nennen wir g die Funktion, die entsteht, wenn die Integration in der Definition von f durch eine summierte Simpsonregel ersetzt wird.

Meine Frage: Gibt es ein Programm / eine Funktion in Matlab (o.Ä.), welche(s) die summierte Simpsonregel bereits integriert hat und ich für verschiedene h die Funktion plotten könnte? Falls nicht: Könnte mir evtl. jemand sagen, wie ich das machen könnte?

Herzlichen Dank smile
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Keine Antwort, sondern nur eine kleine Bemerkung bezüglich der :

Falls , ist doch stets

Nur falls z.B. ist, dann ist etwa

(analoge Abänderung knapp links von 1)

Habe ich das richtig verstanden ?
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Ja das ist absolut korrekt.

Nur eben: Wie kann ich g am besten / einfachsten für verschiedene h plotten?
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Bevor wir da irgendwie weiter machen:

Mir scheint es absolut verwirrend, wenn du die ursprüngliche "einfache" Funktion sowie die daraus durch einen nicht ganz simplen Mittelungsprozess ermittelte Funktion mit dem gleichen Symbol f bezeichnest !
Es gibt doch genügend andere Buchstaben (und lieber nicht nur Anhängselsymbole wie Strichlein, Schlänglein oder Nümmerchen). Die neu eingeführten Bezeichnungen sollten nur ordentlich eingeführt und erläutert werden.

Und noch eine weitere Frage: Weshalb willst du nicht einfach voraussetzen (so wie man das üblicherweise tut), dass die Intervall-Länge h für die einzelnen Simpson-Approximationen ein einfacher Bruchteil (mit ) der gesamten Länge des Integrationsintervalls ist ?
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Danke für die Rückmeldungen!

Bezüglich den Symbolen...naja, da hast du eigentlich recht. Da war ich einfach etwas faul, um andere Buchstaben zu verwenden.

Und wegen den Intervall-Längen h: Da suche ich eben ein Programm-Code (o.Ä.), um zu schauen, ob die Intervall-Länge 1/n wirklich sinnvoll ist, oder ob es da bessere Intervall-Längen gäbe. Das möchte ich u.A. genau untersuchen Augenzwinkern
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Und wegen den Intervall-Längen h: Da suche ich eben ein Programm-Code (o.Ä.), um zu schauen, ob die Intervall-Länge 1/n wirklich sinnvoll ist, oder ob es da bessere Intervall-Längen gäbe. Das möchte ich u.A. genau untersuchen.

Mit deinem Ansatz behältst du aber die konstanten Intervall-Längen im Wesentlichen bei - außer in den jeweils zwei kleinen Bereichen an den Rändern des gesamten Integrationsintervalls.

Für allenfalls genauere Ergebnisse der numerischen Integration wäre aber wohl eine dem Kurvenverlauf angepasste Methode besser. In Bereichen, in welchen die Variation von f' klein bleibt, genügen etwas größere Intervalle, aber da, wo f' stärker variiert (bzw. |f''| größere Werte annimmt), wäre es angezeigt, für die Simpson-Approximation kürzere Intervalle zu nehmen.

Entsprechende Integrationsalgorithmen gibt es bestimmt längst.
 
 
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Zitat:
Original von Thomas7
Nur eben: Wie kann ich g am besten / einfachsten für verschiedene h plotten?


Prinzipiell kannst du mit LaTeX in der tikzpicture-Umgebung prima Plots erstellen. Das sieht dann etwa so wie im Bild aus. Aber für deine spezielle Funktion ist es wohl ziemlich schwierig, weil der Integrand sich um den Nullpunkt sehr zappelig verhält.

EDIT: Die Beschriftung der blauen Kurve ist falsch es wurde geplottet.
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
So sieht es besser aus.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
... und was soll das jetzt mit der vorliegenden Frage zu tun haben ?

Dem Fragenden ging es nicht darum, wie man hier mit diesem Editor Kurven darstellt.
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Zitat:
Original von rumar
... und was soll das jetzt mit der vorliegenden Frage zu tun haben ?

Dem Fragenden ging es nicht darum, wie man hier mit diesem Editor Kurven darstellt.

Wollte er nicht was plotten? Ich dachte ich hätte das irgendwo gelesen. War wohl ein Irrtum. Kann ja mal passieren.
Krombopulus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson-Regel: Anzahl Intervalle
Ich finde wenn dir Matlab zur Verfügung steht, ist das eine tolle Fingerübung!
Die Simpson-Regel kann man Dank der in Matlab zur Verfügung stehenden Function-Handles mit sehr wenig Code für beliebige Funktionen implementieren. Input: Zu Integrierende Funktion (als function handle), obere und untere Integralgrenze und Anzahl an Teilstücken. Output: Skalarer Wert für das Integral.
Dann läuft man mit einer Schleife über die Intervalle und wertet die Funktion an den entsprechenden Punkten aus.
Im Prinzip approximiert man die Funktion Stückweise mit Parabeln, für die man das Integral auf einem definierten Gebiet mittels 3 Funktionsauswertungen auswerten kann. Das Verfahren ist wunderbar auf Wikipedia erklärt. Die Summe der Integrale der Parabeln liefert dann eine Schätzung für das eigentliche Integral der Funktion.
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