Eigenwerte einer 4x4 Matrix

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ghartl Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer 4x4 Matrix
Meine Frage:
Mahlzeit!

Steh bei einer Aufgabe für die Mathe-Übung etwas am Schlauch, vielleicht kann mir ja jemand ein paar Tipps geben Augenzwinkern

Und zwar ist folgendes gefragt:

Seien u, v . Berechnen Sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume der Matrix:



Meine Ideen:

Mein erster Ansatz war, zu versuchen die Nullstellen der Determinante der Matrix:


zu berechnen.

Da dies aber eine furchtbar lange Rechnung wird, glaube ich am falschen Dampfer zu sein...
Die Aufgaben sind in der Regel eher kurz und knackig.
Leider komme ich nicht wirklich auf andere Möglichkeiten bzw. Ideen.
Vielleicht kann mir ja hier wer auf die Sprünge helfen.

Vielen Dank im Voraus!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte einer 4x4 Matrix
Ebenfalls Mahlzeit! Leider kann ich aus deinem Beitrag nicht erkennen, was dein Anliegen ist. geschockt
ghartl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte einer 4x4 Matrix
Mein 1. Beitrag
Muss mich erst einmal mit der Handhabung hier vertraut machen.
Tut mir leid Hammer
ghartl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte einer 4x4 Matrix
Meinte natürlich

"Seien u, q ."
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte einer 4x4 Matrix
Nun ja, es ist leicht einzusehen, daß der Vektor (1, 1, 1, 1) ein Eigenvektor ist. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ghartl
Da dies aber eine furchtbar lange Rechnung wird, glaube ich am falschen Dampfer zu sein...
Die Aufgaben sind in der Regel eher kurz und knackig.

Hmm, wenn du diese Rechnung partout nicht tun willst, dann ist "Eigenvektor-Erraten" der einzige andere Weg, den ich sehe. Augenzwinkern

Falls du diesen Weg wählst: klarsoweit hat ja schon mal einen Hinweis auf einen der vier Eigenvektoren gegeben, jetzt musst du "nur" noch die anderen drei finden, etwa per Trial-and-Error. Als Tipp: Erfolgversprechend ist hier das Probieren von Vektoren, die nur aus den Komponenten 1,-1 oder 0 bestehen.

EDIT: Ach ja: Da die Matrix symmetrisch ist, stehen die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten auch orthogonal aufeinander - das hilft vielleicht auch, das Probieren einzugrenzen.
 
 
ghartl Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon einmal für die Antworten!

Da es sich hier um eine symmetrische Matrix handelt, besitzt diese ja vier linear unabhängige und orthogonal zueinander stehende Eigenvektoren und auch 4 (mit Vielfachheiten gezählt) reelle Eigenwerte.

Könnte man anstatt per Trial and Error, versuchen die Vektoren mithilfe des Gram-Schmidt Verfahrens auf den Vektor (1,1,1,1) zu finden....

Wie sieht man dass denn auf den ersten Blick dass diese Matrix einen Eigenvektor (1,1,1,1) hat?
Durch Erfahrung und/oder einsetzen? Oder gibts da auch ander Hinweise? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ghartl
Wie sieht man dass denn auf den ersten Blick dass diese Matrix einen Eigenvektor (1,1,1,1) hat?

Das ist typischerweise dann der Fall, wenn die Zeilensummen gleich sind. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ghartl
Könnte man anstatt per Trial and Error, versuchen die Vektoren mithilfe des Gram-Schmidt Verfahrens auf den Vektor (1,1,1,1) zu finden....

Wie stellst du dir das vor? Wenn du nur irgendeinen Vektor nimmst, und aus dem mittels Gram-Schmidt einen zu (1,1,1,1) orthogonalen Vektor bastelst, dann muss das noch lange keine Eigenvektor sein. Es ist dann erstmal nur eine Linearkombination der anderen drei (Basis-)Eigenvektoren, aber wie soll das helfen? Erstaunt1
ghartl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie stellst du dir das vor? Wenn du nur irgendeinen Vektor nimmst, und aus dem mittels Gram-Schmidt einen zu (1,1,1,1) orthogonalen Vektor bastelst, dann muss das noch lange keine Eigenvektor sein. Es ist dann erstmal nur eine Linearkombination der anderen drei (Basis-)Eigenvektoren, aber wie soll das helfen?


Stimmt, war ein dummer Gedankengang ....
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