Kreissektor (Fläche) durch Kurve (Bogenlänge) bestimmen

30.03.2018, 04:42	Bfury	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreissektor (Fläche) durch Kurve (Bogenlänge) bestimmen Hallo, bei folgender Aufgabe bräuchte ich etwas Hilfe. Die reguläre ebene Kurve $\begin{eqnarray} c : (a,b) \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ sei durch Polarkoordinaten in der Form $\begin{eqnarray} c (\theta) = r[c] (\theta)(cos(\theta), sin(\theta))^T \end{eqnarray}$ mit stetiger Radiusfunktion $\begin{eqnarray} r[c](\theta) > 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \theta \in (a, b) \end{eqnarray}$ gegeben. Man zeige, dass dann für den Flächeninhalt der durch c und $\begin{eqnarray} \theta_1 = \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta_2 = \beta \end{eqnarray}$ begrenzten Fläche A gilt: $\begin{eqnarray} A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(r[c](\theta))^2d\theta \end{eqnarray}$ Also anschaulich ist die Aufgabe schnell klar. Das Problem das ich habe, ist, dass die Bogenlänge einer regulären ebenen Kurve in Polarkoordinaten $\begin{eqnarray} r(\theta) \end{eqnarray}$ lautet: $\begin{eqnarray} L = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{(r'(\theta))^2 + (r(\theta))^2}d\theta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \theta_1 \le \theta \le \theta_2 \end{eqnarray}$ Doch damit komme ich, egal was ich versuche, nicht zur gewünschten Darstellung. Es muss irgendeinen geschickteren Weg geben. Was übersehe ich? Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Vielen Dank
30.03.2018, 09:50	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor (Fläche) durch Kurve (Bogenlänge) bestimmen Bei der Integration ist für die Darstellung des Flächenelements die Bogenlänge der Kurve gar nicht erforderlich. Man kann den Flächeninhalt des "Spickels" zwischen den Radien an den Stellen $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta+d \theta \end{eqnarray}$ und dem dazwischen liegenden Kurvenstücklein linearisiert ersetzen durch den Flächeninhalt des Kreissektors mit dem Zentriwinkel $\begin{eqnarray} d \theta \end{eqnarray}$ und dem Radius $\begin{eqnarray} r\left(\theta\,+\frac{d \theta}{2}\right) \end{eqnarray}$ . Noch eine Bemerkung: Ist es beabsichtigt, den Buchstaben c in zwei doch recht unterschiedlichen Bedeutungen zu verwenden, nämlich einerseits als Bezeichner für die Kurve und dann andererseits als Argument der Funktion(?) r[c] ?
30.03.2018, 10:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst den Flächeninhalt eines Bereichs $\begin{align} A \end{align}$ in $\begin{align} (x,y) \end{align}$ -Koordinaten bestimmen. Insofern verstehe ich nicht, wieso du mit der Formel für die Bogenlänge kommst. Man führt Polarkoordinaten $\begin{align} (s,\vartheta) \mapsto (x,y) \end{align}$ ein: $\begin{align} x = s \cdot \cos \vartheta \, , \ \ y = s \cdot \sin \vartheta \end{align}$ [attach]46808[/attach] Während $\begin{align} \vartheta \end{align}$ im Intervall $\begin{align} [a,b] \end{align}$ variiert, durchläuft $\begin{align} s \end{align}$ für festes $\begin{align} \vartheta \end{align}$ das Intervall $\begin{align} \left[ 0, r(\vartheta) \right] \end{align}$ (das Anhängsel $\begin{align} c \end{align}$ bei $\begin{align} r \end{align}$ spare ich mir). In Polarkoordinaten ist daher über den Bereich $\begin{align} B \end{align}$ der $\begin{align} (s,\vartheta) \end{align}$ mit $\begin{align} a \leq \vartheta \leq b \, , \ \ 0 \leq s \leq r(\vartheta) \end{align}$ zu integrieren. Bekanntermaßen ist $\begin{align} s \end{align}$ der Betrag der Funktionaldeterminanten der Substitution. Damit gilt: $\begin{align} \int_A \dd (x,y) \ = \ \int_B s ~ \dd (s,\vartheta) \end{align}$ Jetzt mußt du das Bereichsintegral auf der rechten Seite auswerten.

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