Extremwertberechnung, maximaler Lichteinfall

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dogi1988h Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung, maximaler Lichteinfall
EDIT (mY+): Missverständliche bzw. unzutreffende Überschrift geändert

Meine Frage:
Ist die Aufgabe richtig gerechnet. Ich habe unten einen Screenshot meiner Rechenwege hinzugefügt. Nebenbedingung aufgestellt sowie Zielfunktion! Umfang beträgt 6m des Fensters, Lichtabsorbtion im Halbkreis 35%, im rechtecktigen Teil 10%

DerLichteinfall soll maximiert werden!

Meine Ideen:
Nebenbedingung ist der Umfang u=2b+a+(a/2)*pi und zwar deshalb weil ich nur den äußeren Rahmen des Fensters betrachte, den oberen Teil des rechteckigen Fensters wo der Halbkreis aufsitzt, schließe ich aus.



So dann 1. Ableitung null setzen und nach b auflösen. Erhalte als Lösung b=1,5 und a= 1,167

Was sagt ihr dazu?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn der Screenshot?
Bzw ich verstehe nicht ganz, wie das Fenster auszusehen hat etc.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalprobleme mit Differentialgleichung lösen
Guten Abend

Wie das Fenster aussehen muss, konnte ich aus den Formeln rekonstruieren: Rechteck mit Breite a und Höhe b mit aufgesetzter Halbkreisfläche (Radius r = a/2).
Was du mit A(b) bezeichnet hast, ist aber offenbar erst der Flächeninhalt des rechtwinkligen Teils des Fensters. Dazu käme nun noch der Flächeninhalt des Halbkreises, nennen wir diesen einmal H(a) .

Es gilt:

Und nun zur Extremalaufgabe. Die Zielgröße ist der totale Lichteinfall durch das Fenster. Bezeichnen wir eine entsprechende Funktion mal mit L(a,b).
Der rechtwinklige Teil des Fensters besteht aus Glas, welches 10% des einfallenden Lichts absorbiert (oder nach außen reflektiert ...), also wohl 90% in das Zimmer reinlässt. Die halbkreisförmige Scheibe lässt 65% rein. Damit können wir als Zielfunktion benützen:

sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Einwurf von der Seite:
Wo ist denn hier die Differentialgleichung? Geht es nicht vielmehr - wie üblich - darum, das vorliegende Extremalproblem mit Differentialrechnung zu lösen?

(mY+): Richtig! Deswegen habe ich den Titel entsprechend geändert!
dogi1988h Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es nicht letztendlich egal, die Lichteinfallkoeffizienten mit in die Formel zu einzubeziehen? Denn nach oben oder zur Seite hin ist das Glas durch den Rahmen begrenzt. Wenn ich lediglich die Fläche des Rechtecks maximiere, ist dann nicht auch der Lichteinfall maximal?

Ich soll jetzt die Maße bestimmen.

Unten habe ich jetzt eine Skizze des Fensters eingefügt, ich konnte die andere Datei aufgrund der Größe nicht einfügen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Form des Rechtecks beeinflußt auch die Form des aufgesetzten Halbkreises. Für den Lichteinfall kann es eventuell günstiger sein, etwas Rechteckfläche abzugeben, um dafür deutlich mehr Halbkreisfläche zu bekommen. smile
 
 
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde mal interessieren, was du letztendlich heraus bekommen hast, @dogi1988h! smile
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zeichnung muss ziemlich anders aussehen. Oben auf dem Rechteck
sitzt nicht nur ein schmales Kreissegmentchen, sondern ein kompletter
Halbkreis !

Die notwendigen Formeln für die Berechnung wurden eigentlich weiter oben
schon bereitgestellt:

Zielgröße

mit

und

Dabei gilt ferner:


Ob man als "Hauptvariable" lieber a oder b verwenden will, kann man auswählen.
dogi1988h Auf diesen Beitrag antworten »

@Kääsee: Habe als Ergebnis a=1,4348 und b=1,1556 . Bei dieser Aufgabe war mir auch nicht klar, wie ich das mit dem Umfang zu verstehen habe, da vom Halbkreis bzw. Rechteck ein "a" nicht berücksichtigt wird beim Umfang.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, das "a", welches nicht berücksichtigt werden kann, ist die innerhalb der Fläche verlaufende Länge, diese nimmt am Umfang ja nicht teil.
Der Umfang ist also a+2b+u(Halbkreis)

Resultate:
a=1.075, b=1.497 (gerundet)

@dogi
Musst nochmals nachrechnen oder deine Rechnung zeigen.

mY+
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