Beweise in affinen Unterräumen

30.03.2018, 22:57

Tobias83

Beweise in affinen Unterräumen

Hallo zusammen
Ich grüble über folgende Aufgabe:
Für Teilmengen T eines K-Vektorraumes V betrachten wir die beiden Eigenschaften
I)Sind x,y verschiedene Elemente von T, so liegt ihre Verbindungsgerade in T
ii) Ist G $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T eine Gerade und x Element von T, so liegt auch die zu G parallele Gerade durch x in T

a)Jeder affine Unterraum T von V erfüllt i) und ii)
b) Ist $\begin{eqnarray*} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ V und erfüllt T die Bedingungen i) und ii), so ist T ein affiner Unterraum

zu a) habe ich mir folgendes Überlegt
Beweis:
T ist ein affiner Unterraum daraus folgt, dass T:{u+V|u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V} $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T
i) x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ y $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x-y $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0
Definiere nun die Verbindungsgerade durch g:= { x+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (y-x)| $\begin{eqnarray*} \lambda \in \end{eqnarray*}$ K}
zz. g $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T
x liegt nach Voraussetzung in T $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T
$\begin{eqnarray*} \lambda \in \end{eqnarray*}$ K $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists \lambda 1 \end{eqnarray*}$ 1 =0 sodass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1=0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0(y-x)=0 gilt und 0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V
Zusätzlich gilt y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T und x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T, da T $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ V ist folgt y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V und x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ mit der Abgeschlossenheit von V dass (y-x) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda \end{eqnarray*}$ (y-x) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ g $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T

ii) g $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T mit g1:={x1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1*w| $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ k} $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1*w $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$
T tausche x1 durch x dann gilt für die entstehende Gerade g:={x+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *w| $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ k} x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T wegen der Voraussetzung.
Und es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *w $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T wegen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1*w= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *w $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ w( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ) und wegen w $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ g $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T

zu b) Hier habe ich leider absolut keine Idee. Prinzipiell ist es ja die Rückrichtung die ich zeigen muss.
Also ich habe Geraden die, die beiden Bedingungen erfüllen in einer nicht leeren Teilmenge meines Vektorraums. Nun muss ich ja zeigen das diese Teilmenge ein affiner Unterraum ist.

Kann mir jemand Hinweise zum Teil a geben da ich mir dabei auch nicht 100%ig sicher bin ob es so Ok ist.
Und dann brauche ich eine riesen Tipp für die b.

Danke im Voraus und viele Grüße

31.03.2018, 12:00

sibelius84

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Hi Tobias83,

bei a) ist das größte Problem zunächst mal deine Verwendung des Bezeichners V. Denn gemäß Aufgabenstellung ist ja V der gesamte Vektorraum. Du hast also daraus, dass T ein affiner Unterraum von V ist, einfach mal gefolgert, dass T direkt gleich ganz V sei. verwirrt

Das sollte also besser heißen: "T ist ein affiner Unterraum; daraus folgt, dass T = u+W mit irgendeinem festen Vektor u € V und irgendeinem Untervektorraum W von V."

Das mit der Verbindungsgerade ist ok, ganz korrekt wäre "ist definiert durch" (statt "Definiere ... durch"), aber was solls Augenzwinkern

Zu zeigen ist nun, dass $\begin{eqnarray*} g\subseteq T \end{eqnarray*}$ , ganz genau! Das heißt also:
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x+\lambda(y-x) \in T \end{eqnarray*}$ .

Nun weißt du ja, dass $\begin{eqnarray*} x\in T \end{eqnarray*}$ . In welcher Form kann man x also schreiben? Für y analog. Damit solltest du es schaffen, deinen Term $\begin{eqnarray*} x+\lambda(y-x) \end{eqnarray*}$ zu schreiben als u+w, wobei w € W (beachte, dass Untervektorräume unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind!).

Um die b) können wir uns gerne kümmern, sobald wir die a) im Sack haben Augenzwinkern

LG
sibelius84

31.03.2018, 18:53

Tobias83

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Wegen x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T kann ich schreiben x=u'+W und y=u''+W
Dann kann ich den Term
x+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (y-x) schreiben als
u'+W+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (u''+W-(u'+W))= u'+W+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (u''-u')=u'+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (u''-u')+W. (Oder irre ich mich?)
Nun ist ja u',u'' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V. Da V ein Vektorraum ist ist V unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen also gilt u' + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (u''-u') $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V.
Und daraus folgt nun g $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T nicht wahr?

01.04.2018, 01:09

sibelius84

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Die 'Art' der Argumentation ist ganz ok, aber am Ende geht das nicht auf, denn wir hatten ja T=u+W, warum soll dann u'+... unbedingt ein Element aus T sein? Damit einhergehend, hast du am Anfang anscheinend die Definition eines affinen Unterraumes missverstanden: Wir haben ja T=u+W mit einem festen Vektor u und einem Untervektorraum W. Das heißt, du kannst Punkte t € T in der Form t=u+w mit w € W darstellen. Schreib' also besser $\begin{eqnarray*} x=u+w_1,\; y=u+w_2 \end{eqnarray*}$ . Dann klappt's auch mit dem Beweisende Augenzwinkern

01.04.2018, 08:19

Tobias83

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OK dann schreibe ich es so
x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x=u+w1 und y=u+w2 mit w1,w2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W
u-w1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (u+w2-(u+w1)) = u+w1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (w2-w1) = u+(w1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (w2-w1))
(w1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (w2-w1)) $\begin{eqnarray*} \in W \end{eqnarray*}$ Da W ein Vektorraum ist und unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist. Wegen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ beliebig und der Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation folgt nun (w1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (w2-w1)) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ W
Daraus folgt nun für mich u+(w1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (w2-w1)) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T

01.04.2018, 14:58

sibelius84

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Wenn du in deiner vorletzten Zeile noch das Teilmengensymbol durch ein Elementsymbol ersetzt, ist es schlechterdings perfekt! Tanzen

Für die (ii) reicht es zu zeigen, dass zwei beliebige Punkte der parallelen Geraden in T liegen. Denn dann folgt mit (i), dass bereits die ganze parallele Gerade darinliegt. Für den Punkt x ist es nach Voraussetzung schon gegeben. Sei also y $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ x ein weiterer Punkt der parallelen Geraden G'. Dann ist $\begin{eqnarray*} y=x+g_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_0 \in G_0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} G_0 \end{eqnarray*}$ die Ursprungsgerade - also den linearen Unterraum - bezeichne, der G zugrunde liegt. Nun überlege dir, dass man $\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ darstellen kann als Differenz zweier Elemente von G, etwa $\begin{eqnarray*} g_0 = (v+g_0)-v \end{eqnarray*}$ mit irgendeinem Element $\begin{eqnarray*} v\in G \end{eqnarray*}$ , und schaue, ob du damit dann das y als Affinkombination von Elementen aus T erkennen kannst. (Im Gegensatz zu Konvexkombinationen dürfen Affinkombinationen auch negative Koeffizienten haben. Augenzwinkern

)

02.04.2018, 00:00

Tobias83

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Dies sind meine bisherigen Überlegungen die ich auf Grundlage der obigen Hinweise gemacht habe.
ii) Sein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ T und y $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ x ein weitere Punkt der parallelen Geraden G', Dann lässt sich y schreiben als y=x+(v+g0)-v mit v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G. Dies kann ich umstellen zu
y=x-v+(g0+v)

Aber irgendwie bekomme ich es nicht richtig zusammen
ich will ja mein y in etwa so darstellen y=u+w2 wobei u ein fester Punkt ist und w2 ein Element aus einem Untervektorraum ist.
Ich darf ja mein x nicht als festen Punkt ansehen (also als mein u) oder irre ich da?

Falls ich meine Überlegungen in dieser Form anstelle
Ich habe eine Gerade g=s+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ z $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ T dann gilt mit s=n+k1 und z=n+k2
g=n+k1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (n+k2) =n+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ n+k1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ k2
sehe ich folgendes:
dass n+k1 wäre mein x und der Rest wäre mein -v+(g0+v)
Also hier komme ich leider am Anfang des Beweises absolut ins schleudern.

Klar wenn ich den zweiten Punkt gefunden habe, Argumentiere ich wie folgt.
Es gilt $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ gilt für die Verbindungsgerade von x nach y nach i) dass sie eine Teilmenge von T ist

02.04.2018, 10:38

sibelius84

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Ein affiner Unterraum T erfüllt ja immer das Folgende:

$\begin{eqnarray*} t_1,\ldots,t_r \in T, \lambda_1,\ldots,\lambda_r \in\mathbb R, \sum_{j=1}^r\lambda_j = 1 \quad \Longrightarrow \quad \sum_{j=1}^r\lambda_jt_j \in T \end{eqnarray*}$ .

Du hast da eine Summe aus drei Elementen des affinen Unterraums T stehen, mit den Koeffizienten (1,-1,1). Und 'zufällig' gilt 1+(-1)+1=1. Augenzwinkern

edit:
Entschuldige bitte die LaTeX-Hieroglyphen, soeben korrigiert!

02.04.2018, 22:27

Tobias83

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Zitat:

Du hast da eine Summe aus drei Elementen des affinen Unterraums T stehen, mit den Koeffizienten (1,-1,1). Und 'zufällig' gilt 1+(-1)+1=1.

Diese Überlegung hatte ich auch allerdings habe ich sie für zu einfach bzw. zu offensichtlich empfunden und daher verworfen bevor ich sie zu ende gedacht hatte.

Das bringt mich nun zu: y=x-v+g0+v=x+g0
Da nun $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g0 \in T \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y \in T \end{eqnarray*}$
Damit habe ich zwei Punkte auf der Geraden G' gefunden. Die Gerade G' geht durch den Punkt x und ist parallel zu der Geraden G. Da nach i) die Verbindungsgerade zweier Punkte $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y\in T \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von T ist folgt nun dass $\begin{eqnarray*} G' \subset T \end{eqnarray*}$ ist

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