Lineara Abbildung R^3 -> R^2 eindeutig bestimmt?

31.03.2018, 12:43	Matrixio03	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineara Abbildung R^3 -> R^2 eindeutig bestimmt? Hallo Leute, bei folgender Aufgabe stecke ich momentan. Angabe findet ihr im Anhang. Meine bisherigen Überlegungen: Für den R^3 sollten doch 3 Punkte für eine eindeutige Bestimmung ausreichen und für den R2 dann erst recht. Bei der Abbildungsmatrix bein ich mir noch unsicher. Kommt da dann eine 2x3 Matrix raus? Wenn ja wie komme ich auf die werte dieser Abbildungsmatrix? Bin um jede Hilfe/Tipp für die richtige Lösung dankbar LG
31.03.2018, 19:04	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineara Abbildung R^3 -> R^2 eindeutig bestimmt? Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} F:V \to W \end{eqnarray}$ ist durch die Bilder einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt. Bilden die drei gegebenen Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eine Basis? Das wäre zu prüfen. Zum Aufstellen der Matrix wären zunächst (geordnete) Basen zu wählen. Für den $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sollen offenbar die drei gegebenen Vektoren verwendet werden, sofern sie eine Basis bilden? Und beim Zielraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ? Die Standardbasis? Das geht für mich nicht wirklich aus der Aufgabenstellung hervor. Habt ihr da noch irgendwas an Zusatzinformationen bekommen vom Prof oder vom Tutor oder wie auch immer? Letztlich muss man das Bild jedes Basisvektors des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Basisvektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ darstellen und die Koeffizienten dieser Linearkombination spaltenweise in die Matrix eintragen - eigentlich nicht weiter kompliziert. Aber man muss eben wissen, welche Basen man nehmen soll/muss.
02.04.2018, 10:59	Matrixio03	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und erstmal danke für deine schnelle Antwort. Bei der Angebe steht nur noch der Hinweis dass es ineffizient ist eine Matrix mit 6 Variablen anzusetzen. Mehr ist da nicht zu finden :/
02.04.2018, 11:26	Matrixio03	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe die 3 Vektoren im R3 überprüft und sie bilden meiner Meinung nach eine Basis im R3.
02.04.2018, 13:27	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich schon sagte: Irgendwelche Basen braucht man. Wenn man jetzt - mit der Standardbasis im Zielraum - hingeht und die Bilder der Basisvektoren spaltenweise in die Matrix schreibt, landet man bei: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber das ist nun wie gesagt bezüglich der Basen $\begin{eqnarray} B = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right \} \qquad , \qquad C = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray}$ Will man mithilfe dieser Abbildungsmatrix nun das Bild eines Vektors berechnen, muss besagter Vektor dann zuvor immer als Linearkombination ebenjener Basisvektoren dargestellt werden. Beispiel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \color{red}1 \cdot \color{black} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \color{red}0 \cdot \color{black} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \color{red}0 \cdot\color{black} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} f \left ( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right ) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red} 1 \\ \color{red} 0 \\ \color{red} 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weil $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ hier eben nicht die Standardbasis ist. Von dieser Abbildungsmatrix lassen sich aber natürlich auch Kern und Rang ermitteln. Alternativ könnte man versuchen, eine explizite Abbildungsvorschrift zu finden und dann mit den Standardbasen zu arbeiten. Aber viel rumrechnen sollst du ja offenbar nicht.

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