Ableitung mit Hilfe der Definition berechnen

31.03.2018, 17:51

nim

Ableitung mit Hilfe der Definition berechnen

Meine Frage:
Hallo,

wie berechnet man für folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

die Ableitung mit Hilfe der Definition:

$\begin{eqnarray*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hier der Zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a} }{h} \end{eqnarray*}$

wie kann man hier weiter umformen, um die Ableitung zu berechnen?

31.03.2018, 18:10

adiutor62

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RE: Ableitung mit Hilfe der Definition berechnen
Schau mal hier:
https://www.onlinemathe.de/forum/h-Metho...er-fx-Wurzel-x-

31.03.2018, 19:08

nim

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RE: Ableitung mit Hilfe der Definition berechnen
Ja, wenn ich erweitere komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}) \end{eqnarray*}$

die zwei a im Zähler kürzen sich nun raus, h strebt gegen 0 und dann bleibt nur noch 0 im Zähler.
Was ist dann die Ableitung?

31.03.2018, 19:31

Kääsee

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Du solltest zunächst mal durch h kürzen, bevor du den Grenzübergang h gegen 0 durchführst Augenzwinkern

Dann müsstest du es sehen.

01.04.2018, 08:38

nim

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@Kääsee

meinst du so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{h(\frac{a}{h}+1-\frac{a}{h} ) }{h(\sqrt{a+h}\sqrt{a} ) } =\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{a+h} +\sqrt{a} } =\frac{1}{a\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$

01.04.2018, 08:47

G0101418

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a im Zähler fällt doch weg. Dann mit h kürzen.
Was bleibt im Nenner übrig?

01.04.2018, 10:15

nim

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Im Nenner bleibt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} *\sqrt{a} = a*\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

oder?

01.04.2018, 10:43

Mulder

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Zitat:

Original von nim
Im Nenner bleibt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} *\sqrt{a} = a*\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

oder?

Nein. Erstens ist diese Umformung falsch und zweitens verstehe ich auch nicht, woher da plötzlich das Malzeichen kommt. Vorher war da eine Summe im Nenner.

Zitat:

Original von nim
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{a+h} +\sqrt{a} } \color{red} \overset{?????}{=} \color{black} \frac{1}{a\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$

Auch diese Umformung entzieht sich irgendwie jeder vernünftigen Erklärung. verwirrt

01.04.2018, 11:01

nim

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Sorry,

hatte es total in den Sand gesetzt..

ich meinte:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a} } =\frac{1}{2\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$

02.04.2018, 16:34

Kääsee

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Richtig.
Und jetzt müsstest du doch eigentlich sehen, dass das raus kommt, auf das du hinaus willst Augenzwinkern

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

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