Viermal würfeln, genau 2 gleiche Augenzahlen

01.04.2018, 15:34

Pascal__

Viermal würfeln, genau 2 gleiche Augenzahlen

Meine Frage:
Ein Würfel wird 4 mal geworfen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass GENAU 2 gleiche Augenzahlen vor.

Meine Ideen:
Also ich hätte das jetzt so:
Erst einmal die Möglichkeiten bei Z.B. 1 als die Zahl die 2 mal vorkommen soll:
xx11
x11x
11xx
1xx1 (x sind dann alle möglichen Zahlen
1x1x 2-6) 1 darf ja nicht nochmal
x1x1 vorkommen wegen dem Wort
genau
Also für 1 gibt es (6×6)×6=216 Möglichkeiten
Und das für jede Zahl wäre dann 216×6=1296 Möglichkeiten, dass eine Zahl genau 2 mal vorkommt.
Insgesamt gibt es 6^6=46656 Möglichkeiten irgendetwas zu würfeln.
Also wäre mein Ergebnis 1296/46656
Ich Frage mich nur ob Das stimmt?

01.04.2018, 15:49

G010418

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RE: Ein Würfel wird 4 mal geworfen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass GENAU 2 gleiche Augenzahlen
Bernoulli-Kette, n=4, p=1/6, k=2 und das Ganze mal 6.

02.04.2018, 00:31

Dopap

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@GO10418: die vermeintliche Lösung nicht einfach ~~hinknallen~~ posten
--------------------------------------------------------------------------
das wären $\begin{eqnarray*} p=\frac {25}{36}\approx 69.44\% \end{eqnarray*}$ was aber falsch ist.
Die Fälle aabb , aaab und aaaa sind noch zu beachten!

Folgender mögliche Ansatz führt zum Ziel:

Für die 1. Zahl gibt es 6 Möglichkeiten. Die nächste Zahl soll dieselbe sein! Unter dieser Bedingung gibt es 1 Möglichkeiten. Für die 3. Zahl gibt es noch 5 Möglichkeiten und für die 4. Zahl noch 4 Möglichlkeiten. Das Produkt mit der Anzahl der Permutationen oder Auswahl von 2 aus 4 Positionen = 6 multipliziert ergibt

$\begin{eqnarray*} |V(aabc)|=(6 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4)\cdot 6=720 \end{eqnarray*}$

Insgesamt gibt es aber $\begin{eqnarray*} V(6,4)=6^4=1296 \end{eqnarray*}$ gleichwahrscheinliche Variationen. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(aabc)=\frac {720}{1296}=\frac 59\approx 55.56\% \end{eqnarray*}$

02.04.2018, 07:08

G001418

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Zitat:

Die Fälle aabb , aaab und aaaa sind noch zu beachten!

Diese Fälle scheiden doch aus. Es war von "genau zweimal" die Rede. verwirrt

Warum ist Folgendes falsch:

(4über2)*(1/6)^2*(5/6)^2 *6

02.04.2018, 11:02

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
Die Fälle aabb , aaab und aaaa sind noch zu beachten!

das galt jetzt ganz allgemein,also noch vor der Bernoulli-Kette.

Zitat:

Diese Fälle scheiden doch aus. Es war von "genau zweimal" die Rede. verwirrt

schon richtig, nur der Fall aabb muss noch ausscheiden, deshalb

p=(4über2)*(1/6)^2*(5/6)*(4/6) *6 =5/9

was nun keine 6-fache Bernoulli Formel mehr ist.

02.04.2018, 11:19

G020418

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Verstehe. Besten Dank. smile

02.04.2018, 15:30

rumar

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RE: Ein Würfel wird 4 mal geworfen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass GENAU 2 gleiche Augenzahlen
Ich habe jetzt gar nicht alles verfolgt, aber ich denke, dass die Aufgabe nicht ganz klar verständlich gestellt ist. Deshalb versuche ich, das was (vermutlich) gemeint ist, eindeutig zu formulieren.

"Ein Würfel wird 4 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei bei genau zweien der Würfe dieselbe Augenzahl erscheint, bei den anderen beiden Würfen aber zwei andere, verschiedene Augenzahlen ?".

02.04.2018, 15:54

rumar

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RE: Ein Würfel wird 4 mal geworfen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass GENAU 2 gleiche Augenzahlen
Mein Lösungsweg dazu wäre vielleicht folgender:

(1.) Wir wählen aus den 4 verfügbaren Plätzen (1.,2.,3.,4. Wurf) diejenigen 2 aus, auf welche identische Augenzahlen kommen sollen. Dies geht auf $\begin{eqnarray*} \pmat{4\\2}\ =\ 6 \end{eqnarray*}$ Arten.
(2.) Auswahl der doppelt erscheinenden Augenzahl: 6 Möglichkeiten
(3.) Auswahl der (vorderen) weiteren Augenzahl: 5 Möglichkeiten
(4.) Auswahl der (hinteren) weiteren Augenzahl: 4 Möglichkeiten
Insgesamt kommen wir damit auf $\begin{eqnarray*} 6*6*5*4\ =\ 720 \end{eqnarray*}$ "günstige" Wurffolgen unter den insgesamt $\begin{eqnarray*} 6^4\ =\ 1296 \end{eqnarray*}$ möglichen.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also $\begin{eqnarray*} P\ =\ \frac{g}{m}\ =\ \frac{720}{1296}\ =\ \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$

===========================================================================

Bemerkungen:

(1.) Eigentlich wollte ich diesen Zusatz an meinen obigen Beitrag anhängen. Das ging aber wegen "Zeitüberschreitung" nicht.
Ich habe mich schon verschiedentlich gefragt, ob hier die Zeiträume für eine Korrektur am eigenen Beitrag und ferner für die Gültigkeit der Anmeldung (Login) nicht allzu knapp bemessen sind.
(2.) Oben wollte ich den Latex-Befehl "\pmat" verwenden, um den Binomialkoeffizienten in der üblichen Weise darzustellen. Offenbar funktioniert dieser Befehl, der meines Wissens zum Latex-Standard gehört, hier aber nicht. Warum ? Und was wäre eine funktionierende Alternative ?

02.04.2018, 21:47

Dopap

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genau das steckt ja mehr oder weniger versteckt in beiden Herleitungen.
Aber schöner ist deine allemal Augenzwinkern

verwende doch

code:
1:	\binom 42 oder \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}

$\begin{eqnarray*} \binom 42 \quad \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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Klarheit muss sein, aber die Aufgabe war eindeutig. Das Wort "GENAU" ist hinreichend.

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ab 100 posts ( roter Stern ) ist die Zeit zum edit großzügiger.

07.04.2018, 17:46

rumar

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Wenn zum Beispiel in den 4 Würfen

$\begin{eqnarray*} \qquad \end{eqnarray*}$ 2,5,5,2

gewürfelt wird, gibt es genau zwei Augenzahlen, nämlich die 2 und die 5 , welche als
"gleiche" Ergebnisse (in mehr als einem Wurf) vorkommen.
Um derartige Fehlinterpretationen auszuschließen, ist es eben doch nützlich, bei der
Formulierung der Aufgaben sehr vorsichtig zu sein. Nach meinen jahrzehntelangen
Erfahrungen als Mathematiklehrer gibt es im Bereich Kombinatorik/Wahrscheinlich-
keitsrechnung die meisten missverständlich formulierten Aufgaben.

07.04.2018, 18:28

Dopap

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Zitat:

Original von rumar
Wenn zum Beispiel in den 4 Würfen

$\begin{eqnarray*} \qquad \end{eqnarray*}$ 2,5,5,2

Nach meinen jahrzehntelangen
Erfahrungen als Mathematiklehrer gibt es im Bereich Kombinatorik/Wahrscheinlich-
keitsrechnung die meisten missverständlich formulierten Aufgaben.

bin sehr d'accord smile

Deshalb waren meine Aufgaben meist kleine Absätze. Hatte einfach keine Lust zu diskutieren..

Nur hier lehnt sich das an Poker an und dort ist ein Paar genau definiert.
Sehr "witzig" ist, wenn jemand 3 Gleiche ( Drilling ) hat, nach dem Geld greift und man selbst mit 2 "gleichen" Paaren kontert Augenzwinkern

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