Taylorentwicklung einer Funktion

01.04.2018, 15:53

hallowilma

Taylorentwicklung einer Funktion

Hallo,

ich lese ein Physiklehrbuch und es steht, dass die Längeanderung kann in erster Näherung so beschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} L = L_0(1+\alpha(\triangle T)) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \triangle T \end{eqnarray*}$ ist die Änderung der Temperatur.

Aber was ist genau hier entwickelt und in welchem Punkt? Eine Taylor ist normalerweise:

$\begin{eqnarray*} L = L(x_0) + L'(x_0)(x-x_0) + L''(x_0)(x-x_0)^2.... \end{eqnarray*}$

Sie sehen nicht gleich aus besonders mit $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert.

02.04.2018, 00:54

Dopap

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RE: Taylorentwicklung einer Funktion

Zitat:

Du meintest sicher:

$\begin{eqnarray*} L = L(x_0) + L'(x_0)(x-x_0) +\frac 12L''(x_0)(x-x_0)^2.... \end{eqnarray*}$

Sie sehen nicht gleich aus besonders mit $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert.

erste Näherung ist physikalisch zu verstehen. Muss keine Linearisierung einer Funktion sein.

02.04.2018, 01:27

hallowilma

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Aber wie haben sie die Funktion herausgekriegt?

02.04.2018, 04:48

Dopap

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So wie immer: durch Messreihen.
Eine gut passende Regressionsgerade legt einen linearen Zusammenhang nahe.

$\begin{eqnarray*} \frac {L(T)-L(T_0)}{L(T_0)}=\alpha\cdot (T-T_0) \end{eqnarray*}$ d.h. die relative Längenänderung ist der Temperaturdifferenz proportional.

Die Definitionsmenge ist ist der Gültigkeitsbereich der Temperatur.

02.04.2018, 11:47

hallowilma

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Aber es steht im Skript und auch im Buch:

"Bei kleinen Temperaturänderungen führt das auf einen linearen Zusammenhang (Taylorentwicklung!) zwischen Längenänderung und Temperaturdifferenz."

Ich verstehe was du meinst aber kannst du bitte erklären, was sie hier gemeint haben?

02.04.2018, 13:39

Dopap

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meinetwegen, dann gibt es eben eine Funktion - wie schaut Die aus? - mit größerem Definitionsintervall die an den "Enden" nicht mehr linear ist, aber in weiten Teilen.
Das erinnert mich an die Feder-Kraftgesetz $\begin{eqnarray*} F=D\cdot s \end{eqnarray*}$ , das bis zum Erreichen der 0.2% Grenze so gut wie linear ist.
Also: so gut wie jeder funktionale Zusammenhang lässt sich "lokal" mit Taylor linearisieren oder quadratisch oder kubisch... approximieren.
Etwas anderes sind Zusammenhänge die im Wesentlichen von Natur her linear sind wie z.b. die Feder-Kraftregel.
Oder würdest du $\begin{eqnarray*} F=m\cdot a \end{eqnarray*}$ bezüglich m oder a mit Taylor "linearisieren" wollen verwirrt

02.04.2018, 14:30

hallowilma

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RE: Taylorentwicklung einer Funktion
$\begin{eqnarray*} L = L_0(1+\alpha\triangle T + \beta(\triangle T^2)...) \end{eqnarray*}$

Ist die Taylorentwicklung und der quadratische Term kann vernachlässigt werden, da $\begin{eqnarray*} \triangle T \end{eqnarray*}$ klein ist. Aber wie kommt man auf diese Funktion?

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