Inverse Matrix invertierbarer Matrix mit ganzzahligen Einträgen hat rationale Einträge |
| 01.04.2018, 21:40 | NatürlicheZahl1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Inverse Matrix invertierbarer Matrix mit ganzzahligen Einträgen hat rationale Einträge Wenn ich eine invertierbare Matrix mit ganzzahligen Einträgen. Wie kann man dann beweisen, dass die Einträge der inversen rational sind? |
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| 02.04.2018, 08:21 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ja, die Determinante der Matrix ist dann ganzzahlig(!), also invertierbar als Matrix über den rationalen Zahlen. |
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| 02.04.2018, 09:41 | NatürlicheZahl1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du so: Es gilt det (A)*det(A^-1) =1 Also det (A^-1)=1/det(A) Da det A ganzahlig ist, muss der Quotient rational sein. Also ist det A^-1 rational. Folgt daraus, dass die Einträge rational sind? |
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| 02.04.2018, 10:41 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, kann man das nicht über den Adjunktensatz machen? Wenn A ganzzahlig ist, ist adj(A) auch ganzzahlig, und bekanntlich gilt . Falls A invertierbar ist, teilst du nun durch die (ganzzahlige) Determinante und erhältst damit die Behauptung. LG sibelius84 |
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| 02.04.2018, 10:55 | NatürlicheZahl1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke 
Aber geht es mit meinem Weg nicht? |
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| 02.04.2018, 13:20 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Antwort auf die zweite Frage ist leider Nein - weil bereits die Antwort auf die erste Frage Nein ist. Betrachte als Beispiel einfach die Matrix . Sie hat rationale (sogar ganzzahlige) Determinante, aber nicht nur rationale Einträge. |
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| 02.04.2018, 13:59 | NatürlicheZahl1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aso schade. Kannst du mir sagen, wie die Behauptung folgt. Bin gerade zu blöd 
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| 02.04.2018, 17:44 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Matrix heißt zu einer Matrix invers, wenn ( = n x n-Einheitsmatrix) gilt. (Das bedeutet zum Beispiel für Aufgaben "Beweisen Sie, dass die beiden folgenden quadratischen Matrizen zueinander invers sind", dass du einfach die eine Matrix mal der anderen nehmen und dich davon überzeugen musst, dass die Einheitsmatrix rauskommt. Invertieren der einen oder anderen Matrix nicht nötig!) Du hast nun da stehen: . Wenn du diese Gleichung [auf beiden Seiten] durch det(A) teilst - am besten noch kurz dazuschreiben, warum das erlaubt ist - und das auf der linken Seite an die richtige Stelle setzt, kannst du mit Hilfe der obigen Definition die Inverse von A erkennen. |
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