Äußeres Produkt

01.04.2018, 21:45	philip122	Auf diesen Beitrag antworten »
Äußeres Produkt Meine Frage: Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Differentialformen. Dabei lerne ich gerade den Begriff des äußeren Produkts. Ich verwende zwei verschiedene Bücher: Zum einen "Analysis III" von Amann, Escher und zum einen "Vektoranalysis" von Jänich. Beide Autoren definieren den Begriff äußere Algebra etwas anders und deshalb wollt ich überprüfen ob die beiden Definitionen äquivalent sind, da oftmals verschiedene Autoren abstrakte Begriffe leicht verschieden definieren. Leider komme ich aber nicht weiter. Meine Ideen: Vorerst liste ich euch hier die beiden Definitionen auf: 1) Von mir verwendete Begriffe: Mit $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ bezeichne ich einen endlichdimensionalen Vektorraum, mit $\begin{eqnarray} V^{} \end{eqnarray}$ dessen algebraischen Dualraum und mit $\begin{eqnarray} \bigwedge^{r}(V) \end{eqnarray}$ die Menge der alternierenden r-linear Formen auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . 2) Definition der Amann-Escher Reihe: Hierbei wird zuerst das äußere Produkt für $\begin{eqnarray} \varphi_{1},\dots,\varphi_{r}\in V^{} \end{eqnarray}$ definiert: $\begin{eqnarray} \varphi_{1}\wedge\dots\wedge\varphi_{r}(v_{1},\dots,v_{r}):=\text{det}\begin{pmatrix}\varphi_{1}(v_{1})&\dots&\varphi_{1}(v_{r})\\<br /> \vdots&\ddots&\vdots\\ \varphi_{r}(v_{1})&\dots&\varphi_{r}(v_{r})\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danach definieren sie das äußere Produkt für $\begin{eqnarray} f\in\bigwedge^{r}(V)[\latex] und [latex]g\in\bigwedge^{s}(V)[\latex] folgendermaßen:<br /> <br /> [latex]\wedge(\varphi_{1}\wedge\dots\wedge\varphi_{r},\psi_{1}\wedge\dots\wedge\psi_{s}):=\varphi_{1}\wedge\dots\wedge\varphi_{r}\wedge\psi_{1}\wedge\dots\wedge\psi_{s} \end{eqnarray}$ 3) Im Jänich wird das äußere Produkt für $\begin{eqnarray} f\in\bigwedge^{r}(V)[\latex] und [latex]g\in\bigwedge^{s}(V)[\latex] folgendermaßen definiert:<br /> <br /> [latex](f\wedge g)(v_{1},\dots,v_{r},v_{r+1},\dots,v_{r+s}):=\frac{1}{r!s!}\sum_{\sigma\in S_{n}}\text{sign}(\sigma)f(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(r)})g(v_{\sigma(r+1)},\dots,v_{\sigma(r+s)}) \end{eqnarray}$ Ich schaffe es aber nicht die eine Definition in die andere umzuformen....Sind die beiden äquivalent? Oder unterscheiden sich die beiden Definitionen? Ich verstehe zum Beispiel nicht woher der Vorfaktor mit den Fakultäten kommt... Meine Idee war die Definition von Amann-Escher in die Definition von Jänich umzuwandeln, indem ich die Definition der Determinante verwende, komme da aber nicht wirklich weiter.

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