Vollständige Induktion: Teilbarkeit für alle Zahlen n>=0 beweisen

04.04.2018, 16:24

mrclndr

Vollständige Induktion: Teilbarkeit für alle Zahlen n>=0 beweisen

Hallo, ich muss für ein Übungsblatt folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Zeigen Sie mittels Induktion, dass $\begin{eqnarray*} n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$ durch 9 teilbar ist für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte dazu folgenden Gedankengang:

Diese Teilbarkeit liegt ja vor, wenn es ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus den ganzen Zahlen gibt für $\begin{eqnarray*} x=9k \end{eqnarray*}$ .
Außerdem bietet sich bei der vollständigen Induktion eine Summenformel an von $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sodass ich alle Zahlen abdecke, für die diese Formel gelten soll.
Den in der Angabe gegebenen Term mache ich also zur folgenden Gleichung: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} 9x = n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$
Diese Gleichung tut beim Induktionsanfang das, was sie soll: Sie ergibt bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 9x=9 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ . Es gibt damit ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in den ganzen Zahlen, das die Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n=0} 9x = n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Für die Induktionsannahme nehme ich ganz normal an, dass die Aussage gilt für n: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} 9x = n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$ .
Im Induktionsschritt berechne ich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 9x = n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$ , was heißt: Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 9x \end{eqnarray*}$ , das ich in der Induktionsannahme für n als wahr annehme, addiert mit dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} 9x \end{eqnarray*}$ , das bei $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ herauskommen muss. Konkret steht dann da: $\begin{eqnarray*} 9x+9x = 9x+9x \end{eqnarray*}$ . Ich kann damit dann zwei verschiedene Dinge machen:
---> (1) Ich setze auf der rechten Seite der Gleichung beide Male für $\begin{eqnarray*} 9x \end{eqnarray*}$ die in der Induktionsannahme als wahr angenommene Formel $\begin{eqnarray*} n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$ ein. Durch Ausrechnen erhalte ich schließlich das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 18x=18n^3+72 \end{eqnarray*}$ , was durch 9 teilbar ist. Das ist ein etwas absurder Weg, da er ja auf nicht viel mehr hinausläuft als auf eine Äquivalenzumformung mittels Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Aber er scheint mir gültig zu sein, wenn das ganze Restliche oben stimmt: Ich kriege ja eine Lösung x in beiden Fällen, das ergibt sich an dieser Stelle rein formal und zeigt ja schon an, dass wahr ist, was ich beweisen möchte.
---> (2) Ich setze auf der rechten Seite der Gleichung einmal statt $\begin{eqnarray*} 9x \end{eqnarray*}$ die in der Induktionsannahme als wahr angenommene Formel $\begin{eqnarray*} n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$ ein, und für das andere $\begin{eqnarray*} 9x \end{eqnarray*}$ setze ich die neue, zu beweisende Formel für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ein: $\begin{eqnarray*} (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3 \end{eqnarray*}$ . Ich erhalte dann durch Ausrechnen das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 18x=18n^3+90 \end{eqnarray*}$ , das wieder durch $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ teilbar ist.
Damit müsste doch eigentlich bewiesen sein, dass die Teilbarkeit dieses Ausdrucks sowohl für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt und damit für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage ist: Ist das sinnvoll oder ist das völliger Blödsinn und beweist eigentlich überhaupt nichts? Ich habe mir ganz konkret bei der Formulierung einer Formel schwer getan, die ich für den Beweis verwenden kann. Bei der gegebenen Aussage muss man sich ja irgendwie die andere Seite des $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ -Zeichens überlegen, um das zu einer Gleichung zu machen. In meinem Fall ( $\begin{eqnarray*} 9x \end{eqnarray*}$ ) konnte diese nicht abhängig vom k sein, wie das ja oft in Summenformeln der Fall ist, denn bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n=0} 9k = n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{eqnarray*}$ hätte ich dann direkt im Induktionsbeginn die falsche Aussage $\begin{eqnarray*} 0=1 \end{eqnarray*}$ . Darum die Idee mit der Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die nicht durch den "Counter" $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beeinflusst werden kann und mir sozusagen eher indirekt meine Beweisabsicht (nämlich Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ ) anzeigt. Ich steige auch nach langer "Mathe-Pause" wieder ein und daher sind die Basics ein bisschen eingerostet. Kann also gut sein, dass ich schon an einer sehr frühen Stelle rein rechnerisch ganz schlimmen Blödsinn mache. Vielleicht kann mir ein guter Mensch sagen, ob ich damit auf dem ganz falschen Dampfer bin. Vielen Dank!

04.04.2018, 16:37

rumar

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