Beweise für Mengenrechenregeln (Komplementbildung)

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04.04.2018, 19:20

mrclndr

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Beweise für Mengenrechenregeln (Komplementbildung)

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Man beweise die folgenden Mengenrechenregeln:

$\begin{eqnarray*} M \subset N \Rightarrow \overline{N} \subset \overline{M} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M \setminus N = M \cap \overline{N} \end{eqnarray*}$

Was (a) betrifft, habe ich mir ein bisschen schwer getan, zu verstehen, wie ein Beweis mit einer Implikation $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ funktioniert. Ist folgender Versuch/Gedankengang OK (ich müsste ihn natürlich noch sauber formalisieren)?
Angenommen, $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ ist wahr:

Ein Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegt entweder in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und damit in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$
oder es liegt nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (es liegt also in $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ ) und in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$
oder es liegt nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (es liegt also in $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ ) und auch nicht in N (es liegt also in $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ ).
Der zweite Fall bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \overline{N} \subset \overline{M} \end{eqnarray*}$ wahr ist, denn wäre $\begin{eqnarray*} \overline{N} \not\subset \overline{M} \end{eqnarray*}$ dann gäbe es kein $\begin{eqnarray*} \overline{N} \cap \overline{M} \end{eqnarray*}$ , in dem x liegen könnte (falls es das doch gibt, dann ist $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ falsch).

Was (b) betrifft, kenne ich zumindest die erforderliche Beweismethode. Da habe ich mir überlegt:

Ich weise nach, dass die linke Seite (genannt A) der Gleichung Teilmenge der rechten Seite (genannt B) ist: $\begin{eqnarray*} \forall x\in A: x\in M\Rightarrow x\not\in N\Rightarrow x\in \overline{N}\Rightarrow x\in M\wedge \overline{N}\Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$
Ich weise nach, dass B Teilmenge von A: $\begin{eqnarray*} \forall x\in B: x\in M\wedge x\in \overline{N} \Rightarrow x\in M\wedge x\not\in N\Rightarrow x\in M\setminus{N} \Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$
Damit habe ich bewiesen: $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig (auch formal bzw. in der Notation)?

Vielen Dank!

05.04.2018, 08:48

klarsoweit

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RE: Beweise für Mengenrechenregeln (Komplementbildung)
zu a: dein Beweis ist so verschwurbelt, daß ich den beim besten Willen nicht nachvollziehen kann. Ich würde das so machen:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \overline N \end{eqnarray*}$ . Angenommen, es ist $\begin{eqnarray*} x \notin \overline M \end{eqnarray*}$ . Dann ist also $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ und somit ist wegen der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ . Das steht aber im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} x \in \overline N \end{eqnarray*}$ . Somit ist also die Annahme falsch und es folgt $\begin{eqnarray*} x \in \overline M \end{eqnarray*}$ .

zu b: wie wurde denn $\begin{eqnarray*} M \setminus N \end{eqnarray*}$ definiert? Denn letztlich ist in meinen Augen $\begin{eqnarray*} M \cap \overline N \end{eqnarray*}$ exakt die Definition von $\begin{eqnarray*} M \setminus N \end{eqnarray*}$ .

05.04.2018, 19:18

mrclndr

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(a) leuchtet mir ein, danke! Verstehe meinen Vorschlag selber leider nicht mehr.

Und bei (b) sieht die Definition aus den Unterlagen der Lehrveranstaltung folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} M \setminus N := \left\{ x|x\in M \wedge x\not\in N\right\} \end{eqnarray*}$

Abzielend auf diese Definition hab ich dann auch nochmal den Beweis etwas aufgeräumt:
Für $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x\in M\setminus N \Rightarrow x\in M \wedge x\not\in N \Rightarrow x\in M\wedge x\in \overline{N} \Rightarrow x\in M\cap \overline{N} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x\in M \Rightarrow x \in \overline{N} \Rightarrow x\in M \wedge x\in \overline{N} \Rightarrow x\in M \wedge x\not\in N \Rightarrow x\in M \setminus N \end{eqnarray*}$

06.04.2018, 09:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von mrclndr
$\begin{eqnarray*} x\in M\setminus N \Rightarrow x\in M \wedge x\not\in N \Rightarrow x\in M\wedge x\in \overline{N} \Rightarrow x\in M\cap \overline{N} \end{eqnarray*}$

Das geht auch direkter ohne den Weg mit den Teilmengen:

$\begin{eqnarray*} x \in M \setminus N \Leftrightarrow x \in M \wedge x \notin N \Leftrightarrow x \in M \wedge x \in \overline{N} \Leftrightarrow x \in M \cap \overline{N} \end{eqnarray*}$

06.04.2018, 21:46

mrclndr

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Ja, das ist schöner. Vielen Dank!

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

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