Bedingte und gemeinsame Verteilung

05.04.2018, 14:04

LuciaSera

Bedingte und gemeinsame Verteilung

Also ich habe folgende Randverteilungen gegeben:

$\begin{eqnarray*} <br /> X ~ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 \end{pmatrix}<br /> Y ~ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0.4 & 0.2 & 0.4 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Meine erste Aufgabe war es nun, die gemeinsame Verteilung davon zu berechnen. Hierfür multiplizierte ich einfach die Randverteilungen miteinander und fertig. Das war kein Problem.

Meine zweite Aufgabe jedoch ist nun zu zeigen bzw. herauszufinden, wieviele bedingte Verteilungen mindestens bekannt sein müssen, um die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} (X,Y)^{T} \end{eqnarray*}$ eindeutig rekonstruieren zu können.

Ich habe es mit konkreten Beispielen ausprobiert und komme immer zu dem Schluss, dass ich mindestens m-1 und n-1 bedingte Verteilungen brauche.

Was ich nun nicht verstehe sind folgende zwei Dinge:

1. Inwiefern hängen die Randverteilungen mit den bedingten Verteilungen zusammen? Die untere Zeile meiner Matrix stellt in diesem Beispiel meine Randverteilung dar und diese Zeile entsteht doch eigentlich aus der Division der gemeinsamen Verteilung durch die Randverteilung oder? Ich muss sagen mich verwirrt das gerade ein bisschen.. Würde mich freuen wenn wer Klarheit schaffen könnte.. Hammer

2. Wie kann ich meine zweite Aufgabe am besten beweisen? Ich habe zwar ein Zahlenbeispiel aber das reicht sicher nicht aus, da ich es allgemein zeigen müsste. Wir führen in dieser VO leider keine Beweise, deswegen habe ich überhaupt keine Idee wie ich überhaupt anfangen könnte.

Freue mich über jede Antwort. smile

05.04.2018, 14:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von LuciaSera
Meine erste Aufgabe war es nun, die gemeinsame Verteilung davon zu berechnen. Hierfür multiplizierte ich einfach die Randverteilungen miteinander und fertig. Das war kein Problem.

Tja, da gehts schon los: Es gibt nicht die (im Sinne "eindeutige") Verteilung von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ , wenn sonst nichts weiter als die Randverteilungen bekannt ist. Was du gemacht hast ist, die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unter der Zusatzannahme "beide sind unabhängig" zu berechnen! Sollte das so sein, ist dein Vorgehen allerdings richtig.

Zitat:

Original von LuciaSera
Meine zweite Aufgabe jedoch ist nun zu zeigen bzw. herauszufinden, wieviele bedingte Verteilungen mindestens bekannt sein müssen, um die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} (X,Y)^{T} \end{eqnarray*}$ eindeutig rekonstruieren zu können.

Geht es ein wenig genauer? Bedingte Verteilung kann alles mögliche bedeuten, z.B. $\begin{eqnarray*} P(X=k \mid Y\;\mbox{gerade}) \end{eqnarray*}$ usw.

Ich denke, du hast hier nur gewisse bedingte Verteilungen im Auge, also etwa $\begin{eqnarray*} P(X=k \mid Y=j) \end{eqnarray*}$ für gewisse $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ o.ä. - ist das so?

In dem Zusammenhang: Was bezeichnest du mit $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Hast du nirgendwo eingeführt.

Zitat:

Original von LuciaSera
1. Inwiefern hängen die Randverteilungen mit den bedingten Verteilungen zusammen?

Na schlicht über die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=j) = P(X=k \mid Y=j)\cdot P(Y=j) \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=j) \end{eqnarray*}$ eine (Matrix-)Wert der gemeinsamen Verteilung, $\begin{eqnarray*} P(X=k \mid Y=j) \end{eqnarray*}$ stammt aus einer gewissen bedingten Verteilung sowie $\begin{eqnarray*} P(Y=j) \end{eqnarray*}$ aus der Randverteilung bzgl. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von LuciaSera
Wie kann ich meine zweite Aufgabe am besten beweisen?

Ich sehe keine zweite Aufgabe. Zumindest keine, die annähernd brauchbar seriös formuliert ist.

05.04.2018, 14:54

LuciaSera

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Natürlich, tut mir leid, dass habe ich vergessen zu erwähnen.

Zitat:

Leider ist das aber genau meine Aufgabenstellung. Also wortwörtlich:
"Wieviele bedingte Verteilungen müssen mindestens bekannt sein, um die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} (X,Y)^{T} \end{eqnarray*}$ eindeutig rekonstruieren zu können? Geben Sie ein Beispiel an."

Eine genauere Aufgabenstellung habe ich nicht.

Und mit m und n habe ich die Anzahl meiner Randverteilungen von X bzw. Y bezeichnet. Sprich ich brauche mindestens m-1 Randverteilungen von Y und n-1 Randverteilungen von X um die gemeinsame Verteilung rekonstruieren zu können. (zumindest mein Denkansatz)

Zitat:

Original von LuciaSera
1. Inwiefern hängen die Randverteilungen mit den bedingten Verteilungen zusammen?

Natürlich das ist mir schon klar. Aber bei diesem Beispiel zB ist die gemeinsame Verteilung dividiert durch die Randverteilung von Y die Randverteilung von X. Hängt das mit der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen zusammen?
Das ist eher das, was ich mit meiner Frage meinte.

Zitat:

Original von LuciaSera
Wie kann ich meine zweite Aufgabe am besten beweisen?

Ich sehe keine zweite Aufgabe. Zumindest keine, die annähernd brauchbar seriös formuliert ist.

Das tut mir leid.. Ich kann aber selbst nur meine Aufgabenstellung so schildern, wie sie mir gegeben ist.

05.04.2018, 15:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von LuciaSera
Und mit m und n habe ich die Anzahl meiner Randverteilungen von X bzw. Y bezeichnet. Sprich ich brauche mindestens m-1 Randverteilungen von Y und n-1 Randverteilungen von X um die gemeinsame Verteilung rekonstruieren zu können. (zumindest mein Denkansatz)

Es gibt nur eine Randverteilung $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , und eine Randverteilung $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , insofern ist diese Erklärung ein wenig rätselhaft.

Ich schiebe es mal darauf, dass du die Begrifflichkeiten wohl etwas falsch verwendest: Womöglich meinst du damit die Anzahl der Randverteilungswerte $\begin{eqnarray*} P_X(k) = P(X=k) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P_Y(j) = P(Y=j) \end{eqnarray*}$ , d.h., die Anzahl der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , wo man überhaupt positive Wahrscheinlichkeitswerte da bekommt.

Zitat:

Original von LuciaSera
Aber bei diesem Beispiel zB ist die gemeinsame Verteilung dividiert durch die Randverteilung von Y die Randverteilung von X. Hängt das mit der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen zusammen?

Ja. Der genannte Zusammenhang $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=j) = P(X=k \mid Y=j)\cdot P(Y=j) \end{eqnarray*}$ gilt allgemein, also auch bei nicht unabhängigen zweidimensional diskret verteilten $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ . Im Fall der Unabhängigkeit gilt nur zusätzlich $\begin{eqnarray*} P(X=k \mid Y=j) = P(X=k) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k,j \end{eqnarray*}$ , woraus dann eben jenes $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=j) = P(X=k)\cdot P(Y=j) \end{eqnarray*}$ bzw. umgestellt dein $\begin{eqnarray*} \frac{P(X=k,Y=j)}{P(Y=j)} = P(X=k) \end{eqnarray*}$ wird.

Zitat:

Original von LuciaSera
Das tut mir leid..

Ja, mir auch: Wenn wegen solcher Wischi-Waschi-Aufgabenstellungen die mehrfache Arbeit (wg. diverser Mutmaßungen, was denn nun gemeint sein könnte) anfällt, wovon am Ende dann das meiste weggeworfen wird, dann ohne mich.

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