Beweis Sigma-Algebra

05.04.2018, 19:44	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Sigma-Algebra Hi Leute, Es sei $\begin{eqnarray} G\subset P(\Omega) \end{eqnarray}$ ein Mengensystem und $\begin{eqnarray} A\subset \Omega \end{eqnarray}$ . um zu beweisen, dass $\begin{eqnarray} \Sigma(G\|_A)=\Sigma(G)\|_A \end{eqnarray}$ ist, verwende ich bei $\begin{eqnarray} (\sigma1) \end{eqnarray}$ , sprich beim Beweis, dass $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ in der "guten Menge" $\begin{eqnarray} \Sigma=\{B\in \sigma(G):B\cap A\in \sigma(G\cap A)\} \end{eqnarray}$ liegt, dass $\begin{eqnarray} A\in \sigma(G\cap A) \end{eqnarray}$ ist (wobei $\begin{eqnarray} G\cap A:=\{B\cap A:B\in G)\} \end{eqnarray}$ ). Streng genommen muss ich hier ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sigma(G \cap A) \end{eqnarray}$ eine Sigma Algebra auf A ist. Nun muss ich dazu aber zeigen, dass $\begin{eqnarray} A \in \sigma(G\cap A) \end{eqnarray}$ ist, was meiner Meinung nach nicht möglich ist auf Basis der Angabe, da dazu notwendigerweise $\begin{eqnarray} A\in G \end{eqnarray}$ sein müsste, was in der Angabe nicht vorkommt und auch nicht geschlossen werden kann. Habe ich irgendwo einen Denkfehler? Danke für die Hilfe im Voraus. LG
06.04.2018, 08:35	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fürchte Du musst hier erstmal Deine Notationen erklären. Was bedeutet $\begin{eqnarray} \Sigma(G\|_A)=\Sigma(G)\|_A \end{eqnarray}$ genau? Was bedeutet der Einschränkungsstrich und das grosse Sigma? Als Notation kenne ich $\begin{eqnarray} \sigma(M) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} M\subset \Omega \end{eqnarray}$ eine Teilmenge ist, als die kleinste Sigma-Algebra, welche die Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ enthält.
06.04.2018, 09:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, dass $\begin{eqnarray} G\|_A \end{eqnarray}$ für Mengensysteme $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ dasselbe bedeutet wie das später erklärte $\begin{eqnarray} G\cap A \end{eqnarray}$ . Ebenfalls eine Doppelbezeichnung scheint zu sein, dass die von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ erzeugte Sigma-Algebra einmal mit $\begin{eqnarray} \sigma(G) \end{eqnarray}$ und dann aber auch mit $\begin{eqnarray} \Sigma(G) \end{eqnarray}$ bezeichnet wird. Ein wenig mehr Konsequenz hinsichtlich einheitlicher Symbolik wäre wohl angebracht - falls ich mich aber täuschen sollte, bitte auch ich (wie system-agent) um Aufklärung.
06.04.2018, 10:02	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} G\in \P(\Omega) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A\subset \Omega \end{eqnarray}$ , wobei P die Potenzmenge ist. Es ist zu zeigen dass, $\begin{eqnarray} \sigma(\{B\cap A:B\in G\}=\{B\cap A: B\in \sigma(G)\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \sigma(G) \end{eqnarray}$ die von G erzeugte Sigma Algebra ist. Dazu zeige ich beide Inklusionen. Dazu bezeichnetman noch laut Angabe: $\begin{eqnarray} G\cap A:=\{B\cap A:B\in G\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma(G)\cap A:=\{B\cap A:B\in \sigma(G)\} \end{eqnarray}$ . Die Inklusion " $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ " ist klar. Die andere Richtung macht man mit dem "Prinzip der guten Mengen". Dazu bezeichne ich $\begin{eqnarray} \Sigma:=\{B\in \sigma(G):B\cap A\in \sigma(G\cap A)\} \end{eqnarray}$ . Nun zeige ich, dass groß Sigma eine Sigma Algebra ist und folgere dann $\begin{eqnarray} \sigma(G)=\Sigma \end{eqnarray}$ . Dabei tritt das beschriebene Problem auf. Die Gleichheit was insgesamt also zu zeigen ist, habe ich in der Literatur auch mit dem Einschränkungsstrich gefunden und daher so geschrieben. LG
10.04.2018, 18:14	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
hat sich erledigt!

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