Konvergenzradius bestimmen

06.04.2018, 13:39

LuciaSera

Konvergenzradius bestimmen

Meine Aufgabe ist von folgender Potenzreihe den Konvergenzradius zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{z^{n}}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Ich habe mit dem Konvergenzradius so an sich kein Problem. Meine Frage ist nun, ob es mich stört, dass meine Summe erst bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ startet. Laut der Definition einer Potenzreihe startet diese immer bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn es mich nicht weiter stört, dann würde ich einfach wie immer das Wurzelkriterium anwenden und fertig.
Wenn es mich aber stört, würde ich einen Indexshift machen und würde auf folgende Form kommen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(n+1)^{2}}z^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Hier hätte ich ein Thema mit der allgemeinen Form bezüglich meinem letzten Teil. Die allgemeine Form einer Potenzreihe lautet ja:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } a_{n}(z-z_{0})^n \end{eqnarray*}$

Jetzt hätte ich dann aber hinten stehen $\begin{eqnarray*} (z-0)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$ (0 wegen meinem Entwicklungspunkt) und das entspricht nicht mehr meiner allgemeinen Form.

Könnte ich es dann vielleicht so aufspalten?:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(n+1)^{2}}z^{(n)}z z\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(n+1)^{2}}z^{(n)} \end{eqnarray*}$

Bin mir eben nicht sicher, ob ich das z einfach so vor die Summe ziehen darf oder nicht. Dachte mir nur, dass es ja nicht von der Summe abhängt, doch ich weiß nicht, ob ich damit nicht etwas am Konvergenzradius oder so verändere. Ansonsten, wenn das so passt, dann hätte ich anschließend eine allegemeine Form der Potenzreihe übrig und könnte damit weiterarbeiten.

Sorry für diese vielen Gedanken und Fragen aber mir sind bei diesem Beispiel ein paar Sachen eben unklar und selbst kann ich sie mir irgendwie nicht beantworten. Hammer

06.04.2018, 13:50

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius bestimmen

Zitat:

Original von LuciaSera
Meine Frage ist nun, ob es mich stört, dass meine Summe erst bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ startet. Laut der Definition einer Potenzreihe startet diese immer bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ .

Das spielt keine Rolle. Endlich viele fehlende Summanden sind völlig belanglos. Wenn du aber der Definition Genüge tun willst, setze a_0 = 0 und alles paßt. smile

06.04.2018, 13:59

LuciaSera

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Ah okay super danke! smile

Und zwecks der Summe? Dürfte ich das z vorne hinausziehen oder ist das ein No-Go? Würde mich einfach interessieren. smile

06.04.2018, 14:24

klarsoweit

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Ja, du darfst das z vor die Summe ziehen.

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