Holomorphe Funktion zeigen

06.04.2018, 15:15

LuciaSera

Holomorphe Funktion zeigen

Ich muss zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{sin(\sqrt(z))}{\sqrt(z)} \end{eqnarray*}$

Wobei für beide Wurzeln jeweils der selbe Weg zu wählen ist.

eine in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktion ist.

Ich weiß, dass eine in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktion als ganze Funktion bezeichnet wird. Ich habe versucht über den Hauptwert des Logarithmus zu gehen, doch da kam ich dann irgendwann nicht mehr weiter und habe dann auch gesehen, dass der Hauptwert 'nur' holomorph auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C ohne \mathbb R_{\leq 0} \end{eqnarray*}$ ist und nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Stehe glaube ich ziemlich auf der Leitung. Freue mich über alle Vorschläge und Hinweise.

06.04.2018, 15:18

Leopold

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Substituiere in der Sinusreihe $\begin{align*} z \end{align*}$ durch $\begin{align*} \sqrt{z} \end{align*}$ . Das ist im wesentlichen alles.

06.04.2018, 15:46

HAL 9000

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Anmerkung: Das ist doch die Funktion, wo mich der vermeintlich "nur reelle" Boardplotter schon mal in Erstaunen versetzt hat ob seiner selbständig vorgenommenen holomorphen Erweiterung auf die negative reelle Achse:

(Für reelle $\begin{eqnarray*} z<0 \end{eqnarray*}$ passt ja die Darstellung $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{\sinh(\sqrt{-z})}{\sqrt{-z}} \end{eqnarray*}$ , aber diese Hilfestellung hat der Plotter nicht benötigt.)

06.04.2018, 15:48

LuciaSera

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Ich verstehe leider nicht inwiefern das alles ist..

Wenn ich in der Sinusreihe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ ersetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{sin(\sqrt{z})}{\sqrt{z}}=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{(\sqrt{z})^{(2n+1)}}{(2n+1)!}}{\sqrt{z}}=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{(\sqrt{z})^{2n}\sqrt{z}}{(2n+1)!}}{\sqrt{z}}=\frac{\sqrt{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{(\sqrt{z})^{(2n)}}{(2n+1)!}}{\sqrt{z}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{(\sqrt{z})^{2n}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{z^{n}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Ich weiß leider nicht, wie mir das nun hilft zu erkennen, ob meine Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph ist.

06.04.2018, 15:50

HAL 9000

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Potenzreihen sind innerhalb des Konvergenzkreises immer holomorph. Wie groß ist denn der Konvergenzradius dieser deiner Potenzreihe? Augenzwinkern

06.04.2018, 16:06

LuciaSera

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Aaaah! Ich habe total übersehen, dass ich hier eine Potenzreihe habe.

Also wenn ich das Wurzelkriterium anwende erhalte ich, dass mein Konvergenzradius dieser Reihe gleich 1 ist. Stimmt das?

06.04.2018, 17:48

HAL 9000

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Nein, er ist unendlich - was nicht weiter verwundert, da das bei der Sinusreihe auch so ist.

06.04.2018, 17:59

LuciaSera

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Denkfehler ja..

Habe es nochmal überarbeitet, stimmt das so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}{\frac{(-1)^{(n+1)}}{(2n+3)!}} | = \lim_{n \to \infty} | \frac{(-1)^{n}(2n+3)!}{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!} | = \lim_{n \to \infty} | \frac{(2n+3)(2n+2)}{(-1)} | = \lim_{n \to \infty} | -(2n+3)(2n+2) | \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Und da mein Konvergenzradius unendlich ist und meine Funktion innerhalb diesem konvergiert, ist meine Funktion natürlich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph. Habe ich das richtig verstanden?

07.04.2018, 13:33

Leopold

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Zitat:

Original von LuciaSera
$\begin{eqnarray*} \ldots = \lim_{n \to \infty} | -(2n+3)(2n+2) | \color{red} \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Ein Grenzwert "strebt nicht", ein Grenzwert "ist".

Zitat:

Original von LuciaSera
Und da mein Konvergenzradius unendlich ist und meine Funktion innerhalb diesem konvergiert, ist meine Funktion natürlich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph. Habe ich das richtig verstanden?

Ja, das stimmt.
Allerdings halte ich die erneute Bestimmung des Konvergenzradius für überflüssig. Von der Sinusreihe

$\begin{align*} \sin w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} ~ w^{2n+1} \end{align*}$

dürfte bereits bekannt sein, daß sie überall konvergiert. Daran ändert sich nichts, wenn man $\begin{align*} w = \sqrt{z} \end{align*}$ substitutiert und die Reihe mit dem von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängigen Faktor $\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{z}} \end{align*}$ multipliziert. Daß sich die scheinbare Singularität bei $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ als hebbar erweist - umso besser ...

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