Grenzwert berechnen

06.04.2018, 17:03

nim

Grenzwert berechnen

Meine Frage:
Hallo,

heir ist der Grenzwert gesucht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{ax\to 0^{+} } sin(x)*ln(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
0 Kann man nciht direct einsetzten, da ln von 0 nicht geht.

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man da weiterkommt?

06.04.2018, 17:14

10001000Nick1

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Bei Grenzwerten der Form " $\begin{eqnarray*} 0\cdot \infty \end{eqnarray*}$ " kann man die Regel von l'Hospital anwenden, indem man zuerst umformt: $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cdot \ln(x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}} \end{eqnarray*}$ .

Andere Möglichkeit: Wenn die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x\ln(x) \end{eqnarray*}$ schon bekannt sind, kommt man mithilfe der Grenzwertsätze auf den gesuchten Grenzwert; es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cdot \ln(x)=\frac{\sin(x)}{x}\cdot x\ln(x) \end{eqnarray*}$ .

06.04.2018, 17:28

Kääsee

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Bei Grenzwerten der Form " $\begin{eqnarray*} 0\cdot \infty \end{eqnarray*}$ " kann man die Regel von l'Hospital anwenden, indem man zuerst umformt: $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cdot \ln(x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}} \end{eqnarray*}$ .

Ich nerve mal wieder mit einer kurzen Zwischenfrage O:-)
L'Hospital war nämlich auch mein erster Gedanke, dann habe ich mich aber gefragt, ob die Regel denn auch bei einem Grenzwert der Form - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ anwendbar ist verwirrt

06.04.2018, 17:31

10001000Nick1

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Klar; du könntest ja zuerst noch umformen zu $\begin{eqnarray*} -\frac{-\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}} \end{eqnarray*}$ . Bei der Ableitung des Zählers bleibt das Minus einfach stehen und kann danach mit dem Minus vor dem Bruch wieder zusammengefasst werden. Also ist dieser "Umweg" eigentlich gar nicht nötig. smile

06.04.2018, 17:37

Kääsee

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Ok, das stimmt natürlich. Danke!

06.04.2018, 17:39

nim

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Danke für den Tipp!
Aber wenn ich l'Hospital anwede become ich:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} }{\frac{1}{cos(x)} } =\frac{\frac{1}{0} }{1} \end{eqnarray*}$

Man darf doch nicht durch 0 teilen. Oder etwa doch? Big Laugh

06.04.2018, 17:44

10001000Nick1

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Leite erstmal den Nenner richtig ab (Ketten- oder Quotientenregel), dann sehen wir weiter. Augenzwinkern

06.04.2018, 17:45

Kääsee

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Die Ableitung des Nenners ist falsch, du musst dazu die Quotientenregel beachten oder alternativ $\begin{eqnarray*} (sin(x))^{-1} \end{eqnarray*}$ ableiten Augenzwinkern

Danach ist es meiner Meinung nach auch notwendig, noch einmal L'Hospital anzuwenden.
Edit: Sorry, ich wollte mich nicht einmischen, du hast ja schon jemanden, der dir hilft. Ich ziehe mich zurück. Entschuldigt!

06.04.2018, 18:55

nim

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Stimmt, ich habe da einen Fehler. Wenn ich Quotientenregel anwende:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x} }{\frac{-cos(x)}{sin^2(x)} } =\frac{1}{x} *(-\frac{sin(x)}{cos(x)})*sin(x)=\frac{1}{x} * (-tan(x)*sin(x)) \end{eqnarray*}$

hier komme ich nicht weiter, weil ja immernoch 0*0*0=0

06.04.2018, 18:58

10001000Nick1

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Den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ kannst du wieder mit l'Hospital bestimmen.

06.04.2018, 19:13

nim

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und warum fällt der Tangens raus?

06.04.2018, 19:37

mYthos

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Setze dort mal 0 ein ...

06.04.2018, 22:12

nim

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Ja, das ergibt 0. Aber bei sinus ist das doch dasselbe. Oder warum fällt der nicht raus?

06.04.2018, 22:22

10001000Nick1

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Da fällt nichts raus, sondern man wendet die Grenzwertsätze an:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{\sin(x)}{x}\cdot \tan(x)\right)=\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(x)}{x}\cdot \lim _{x\to 0^+} \tan(x) \end{eqnarray*}$

(Das darf man machen, weil beide Grenzwerte auf der rechten Seite existieren.)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{\sin(x)}{x}\cdot \tan(x)\right)=\lim_{x\to 0^+} \frac 1x \cdot\lim_{x\to 0^+} \sin(x) \cdot \lim _{x\to 0^+} \tan(x) \end{eqnarray*}$ wäre falsch, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^+} \frac 1x \end{eqnarray*}$ nicht existiert.

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