Funktionsgleichung mit Bezug auf Grundfunktion

06.04.2018, 20:34

KK199999

Funktionsgleichung mit Bezug auf Grundfunktion

Meine Frage:
Hi an alle,
leider hänge ich bei einer Aufgabe meiner Hausarbeit =( vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung. Begründen Sie Ihre Wahl durch Bezug auf die jeweilige Grundfunktion und geben sie an, welche Veränderungen an dieser vorgenommen wurde! Verwenden Sie dabei die hervorgehobenen Punkte, deren Koordinaten ganz- oder halbzahlig sind.

[attach]46859[/attach]

Meine Ideen:
Grundfunktion: y= x^3 bzw y= -x^3

monoton fallend
punktsymmetrisch an (1/1)
Graph ist eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben verschoben

Allerdings weiss ich nicht wie das mit Punkt (0/4) und Punkt (2/-2) weitergeht

Ist das eine Streckung??? ich komme nicht mehr weiter =(((

06.04.2018, 22:09

Helferlein

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Du bist dicht dran, aber y=x^3 sieht doch selbst nach der Verschiebung grundlegend anders aus verwirrt

Du müsstest den Graphen drehen, um auf den gesuchten zu kommen. Hast Du eine Idee, wie man das anhand des Terms bewerkstelligen könnte?

07.04.2018, 14:36

rumar

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RE: Funktionsgleichung mit Bezug auf Grundfunktion
Mein Tipp:

anstatt drehen (wie Helferlein vorschlägt): betrachte das Ganze zuerst mal mit vertauschten Rollen der beiden Koordinaten x und y !

07.04.2018, 18:11

willyengland

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Sehe ich das richtig, dass man die Funktion in zwei Teile teilen muss, wegen der Wurzel?
Einen für x < 1 und einen für x > 1?

07.04.2018, 19:59

rumar

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Sehe ich das richtig, dass man die Funktion in zwei Teile teilen muss, wegen der Wurzel?
Einen für x < 1 und einen für x > 1? $\begin{eqnarray*} \qquad \end{eqnarray*}$ (x=1 nicht vergessen!)

Das ist bestimmt zunächst einmal sinnvoll, insbesondere wegen der Definition der Wurzeln
(auch Kubikwurzeln), welche nur für nichtnegatives Argument definiert sind und nichtnegative
Werte liefern.
Zum Schluss kann man, wenn man will, trotzdem die gesamte Definition der Funktion in eine
einzige Formel fassen (Stichwort: Absolutbetrag einsetzen).

07.04.2018, 21:55

willyengland

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Zitat:

Original von rumar
(Stichwort: Absolutbetrag einsetzen).

Ah, ok, danke!

08.04.2018, 11:59

Gualtiero

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Es sind schon bald zwei Tage her, seit die Frage gestellt wurde, und vom TE gab es bisher - leider und trotz guter Hilfestellung ! - keine Reaktion. Ich finde die Aufgabe zu interessant, als dass sie so im Sande verlaufen soll.

Für den Bereich $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ habe ich $\begin{eqnarray*} f(x)=1-3 \cdot \sqrt[3]{|x-1|} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \leq 1: f(x)=1+3 \cdot \sqrt[3]{|x-1|} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von rumar

Zum Schluss kann man, wenn man will, trotzdem die gesamte Definition der Funktion in eine einzige Formel fassen (Stichwort: Absolutbetrag einsetzen).

Mit dem Absolutbetrag allein schaffe ich das nicht, es würde mir nur die Signum-Funktion einfallen, aber ob man die so ohne Weiteres einbauen kann:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-3 \cdot \sqrt[3]{|x-1|} \cdot sgn(x-1) \end{eqnarray*}$ verwirrt

09.04.2018, 11:17

KK199999

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Hi SORRY, ich musste viel arbeiten und hatte vergessen meine Antwort abzuschicken. Verzeiht mir.

Vielen Dank für die tollen und sehr schnellen Hilfestellungen.

Ich hatte: f(x) = -3*(x-1)^3 +1
ist die Schreibweise so falsch? verwirrt

War dann noch am Grübeln wies mit den Abweichungen an Punkt (4/0) und (2/-2) aussieht.

oder hat sich das erledigt, wenn ich noch f(x) = 3*(x-1)^3 +1 habe. Vielleicht denk ich einfach auch wieder zu kompliziert Hammer

09.04.2018, 11:35

KK199999

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ahhh die Lösung heißt: Funktion und Umkehrfunktion oder? Hammer

09.04.2018, 11:48

klauss

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Ich würde schulmäßig so rangehen:

Zunächst bestimme ich die kubische Grundfunktion, die durch den Punkt (-3/-1) geht und erhalte
$\begin{align*} y=\frac{x^{3}}{27} \end{align*}$
Diese drehe ich um 90° im Uhrzeigersinn per Matrix
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \frac{x^{3} }{27} \end{pmatrix} \end{align*}$
Die neue Funktion lautet dann
$\begin{align*} y_{1} =-3\sqrt[3]{x} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$
Aus Definitionsgründen benötige ich hierzu noch zusätzlich den am Ursprung gespiegelten Zweig
$\begin{align*} y_{2} =3\sqrt[3]{-x} \end{align*}$ für $\begin{align*} x < 0 \end{align*}$
Die beiden Zweige verschiebe ich jetzt (Schubvektor $\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} ^{T} \end{align*}$ )
Dann wäre mein Ergebnis als zusammengesetzte Funktion:

$\begin{align*} f(x)=-3\sqrt[3]{x-1} + 1 \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 1 \end{align*}$
$\begin{align*} f(x)=3\sqrt[3]{-x+1} + 1 \end{align*}$ für $\begin{align*} x < 1 \end{align*}$

09.04.2018, 14:59

HAL 9000

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Betrachtet man $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ als auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gültige Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ (d.h. nicht nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ ), so sind übrigens beide Schreibweisen

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1-3\sqrt[3]{x-1} = 1+3\sqrt[3]{1-x} \end{eqnarray*}$

auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zulässig und richtig.

09.04.2018, 17:19

willyengland

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Zitat:

Original von klauss
Dann wäre mein Ergebnis als zusammengesetzte Funktion:

$\begin{align*} f(x)=-3\sqrt[3]{x-1} + 1 \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 1 \end{align*}$
$\begin{align*} f(x)=3\sqrt[3]{-x+1} + 1 \end{align*}$ für $\begin{align*} x < 1 \end{align*}$

Das hatte ich auch raus.

@HAL 9000:
Was meinst du damit?
Dass es reicht, nur eine Version hinzuschreiben?

09.04.2018, 17:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Dass es reicht, nur eine Version hinzuschreiben?

Unter der genannten erweiterten Auffassung der Drittwurzelfunktion: Ja.

Der Boardplotter versteht die erweiterte Auffassung auch nicht, aber es gibt ja auch andere Möglichkeiten Big Laugh

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