Reihen auf Konvergenz untersuchen

07.04.2018, 01:06

Orly

Reihen auf Konvergenz untersuchen

Hallo,

Nach einigen Stunden Videos zum Thema schauen hatte ich mich eigentlich recht gut vorbereitet gefühlt aber bin am Ende dann doch verzweifelt, denn ich komme hier mit fast keiner Teilaufgabe voran und finde auch keine Beispielaufgabe im Netz deren Lösungsweg ich auf meine Reihen übertragen könnte.

Hier mal die Aufgaben:

[attach]46862[/attach]

Bei a) hatte ich versucht mit diversen Theoremen umzuformen, dann kam mir die Idee mit Minor-/Majorantenkriterium evtl. etwas zu erreichen weil die Kosinusfunktion sich ja auf -1 bis 1 einschränken lässt.

b) Nullfolgenkriterium: lim gegen unendlich für die Folge (e^-n + 1/2) geht die exp-Fkt gegen 0 und die 1/2 ist nicht Null -> die Reihe divergiert

c) Hier habe ich mit dem Quotientenkriterium angefangen. Nach etwas Kürzungsarbeit bin ich bei einem Bruch gelandet:

[4/n+6/n^2+4/n^3+1/n^4] / n

Damit kann ich aber nur aussagen, dass bei n -> unendlich das ganze gegen Null geht. Ich muss aber ja eine bestimmte Zahl kleiner 1 finden um mein Kriterium zu erfüllen.

d) Ich habe das Quotientenkriterium probiert und schnell erkannt, dass sich da nichts so wirklich toll vereinfachen lässt. Mein nächster Versuch war n^2 rauszukürzen aber damit konnte ich nur erkennen, dass es sich um eine Nullfolge handelt. Dann habe ich mal versucht die Summe so umzuschreiben, dass sie bei n=1 startet und kam auf (n+3) / [(n+1)^2-1] (kann ich das überhaupt so machen?). Naja, weiter wusste ich damit auch nicht.

Ich würde euch jetzt einfach bitten, mir jeweils einen Tipp zu geben mit welchem Kriterium ich an welche Aufgabe herangehen sollte, dann kann ich mich morgen nochmal dransetzen.

Danke schonmal

07.04.2018, 07:15

HAL 9000

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b) ist richtig.

Bei c) bist du fertig, ohne es zu merken: Konvergiert der Quotient gegen Null, so bleibt er ab einem gewissen Index ständig unterhalb 1/2, und das reicht ja für das Quotientenkriterium. Die Reihe konvergiert also.

Bei d) solltest du es mit dem Minorantenkriterium versuchen, d.h., die Reihe ist divergent.

a) ist der härteste Brocken. Mit dem Dirichletkriterium kann man die Konvergenz beweisen, ja sogar die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(an+b)}{n} \end{eqnarray*}$ für (nahezu) beliebige reelle Parameter $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ - es muss nur gefordert werden, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist.

Solltest du dieses Kriterium nicht kennen, gibt es auch Alternativwege: Berechnen wir zunächst mal direkt $\begin{eqnarray*} \cos\left( \frac{\pi}{2}n+\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{2}}{2},\; -\frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Für größere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ setzt sich diese Sequenz dann periodisch fort aufgrund der Periodizität $\begin{eqnarray*} \cos(x+2\pi)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Damit lässt sich doch was machen: Zusammenfassen von jeweils vier aufeinander folgenden Reihengliedern, bzw. irgend eine andere passende Aufteilung der Reihe, die diese Viererperiodizität der Kosinuswerte geeignet berücksichtigt...

Zitat:

Original von Orly
und finde auch keine Beispielaufgabe im Netz deren Lösungsweg ich auf meine Reihen übertragen könnte.

So schlecht bist du beim Suchen? unglücklich

07.04.2018, 17:49

Orly

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Zu d) Summe (n+2)/(n-1) größer/gleich Summe n/n^2 = 1/n -> harmonische Reihe divergiert gegen unendlich -> Ursprungsreihe divergiert auch
Passt das so? Ich glaube bei der d) ging mir Nachts um halb 2 dann einfach das Hirn aus Hammer

Zu a) Das Kriterium befindet sich nicht in meinem Skript deshalb habe ich mal deinen Alternativvorschlag probiert:

Ich habe die Summe umgeschrieben als Summe k=4*n bis unendlich von (2*Wurzel(2))/(2*n) - (2*Wurzel(2))/(2*n) = 0 -> konvergiert

Ich wollte mir also immer Summen von Viererpaketen anschauen und dann die von dir bereits bestimmten Werte im Zähler einsetzen. Mich macht das grad stutzig, dass mir innerhalb der Summe alles wegfällt und wirklich Null ergibt. Kann ich das denn so machen?

Zitat:

Original von HAL 9000
So schlecht bist du beim Suchen? unglücklich

Da ich 2 von 4 hinbekommen habe und die erste wirklich sehr speziell war würde ich mal sagen ich habe gar nicht so schlecht gesucht. Das Verständnis um zu erkennen inwiefern eine Aufgabe meinem Fall ähnelt war wohl eher das Problem.

Danke für deine Tipps.

07.04.2018, 18:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Orly
Da ich 2 von 4 hinbekommen habe

Thema verfehlt: Ich hab mich nicht auf deine Leistung beim Lösen der Aufgaben bezogen, sondern auf deine Aussage, dass du "keine Beispielaufgaben im Netz" gefunden hast, die hier helfen könnten. Allein hier im Board sind genügend dazu vorhanden - eben schlecht gesucht. Augenzwinkern

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Zitat:

Original von Orly
Zu d) Summe (n+2)/(n-1) größer/gleich Summe n/n^2 = 1/n -> harmonische Reihe divergiert gegen unendlich -> Ursprungsreihe divergiert auch

Ja, passt.

Zitat:

Original von Orly
Ich habe die Summe umgeschrieben als Summe k=4*n bis unendlich von (2*Wurzel(2))/(2*n) - (2*Wurzel(2))/(2*n) = 0 -> konvergiert

Keine Ahnung, was du hier machst. Jedenfalls gehören vier aufeinander folgende Reihenglieder nicht alle zu Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sondern zu $\begin{eqnarray*} n,n+1,n+2,n+3 \end{eqnarray*}$ . Also wenn schon, dann müsste das irgendwie so aussehen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\left( \frac{\pi}{2}n+\frac{\pi}{4}\right)}{n} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{4k+1} - \frac{1}{4k+2} + \frac{1}{4k+3} + \frac{1}{4k+4} \right) \end{eqnarray*}$

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Für Interessierte eine kleine Rechnung zum tatsächlichen Berechnen des Reihenwerts bei a), und zwar gleich für den angesprochenen allgemeineren Fall:

Es ist $\begin{eqnarray*} r := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(an+b)}{n} = \operatorname{Re}(s) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s:=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\exp(i(an+b))}{n} \end{eqnarray*}$ .

Nun rechnen wir ein bisschen basierend auf der Logarithmus-Potenzreihe $\begin{eqnarray*} -\ln(1-z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n} \end{eqnarray*}$ , gültig für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|\leq 1,z\neq 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} s &=& \exp(ib) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\exp(ia)^n}{n} = -\exp(ib)\ln(1-\exp(ia)) = -\exp(ib)\ln\left( \exp\left(i\frac{a-\pi}{2}\right) 2\cos\left(\frac{a-\pi}{2}\right)\right)\\ &=& -(\cos(b)+i\sin(b)) \left( \ln\left( 2\sin\left(\frac{a}{2}\right)\right) + i\frac{a-\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

die allerletzte Umformung aber unter der Einschränkung $\begin{eqnarray*} 0<a<2\pi \end{eqnarray*}$ . Davon der Realteil ergibt dann Ergebnis

$\begin{eqnarray*} r = -\cos(b)\ln\left( 2\sin\left(\frac{a}{2}\right) \right) + \sin(b)\frac{a-\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ergibt das nach einigen Vereinfachungen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}n+\frac{\pi}{4}\right)}{n} = -\frac{\sqrt{2}}{8} \left( 2\ln(2)+\pi \right) \end{eqnarray*}$ .

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