Taylorreihe mit Hilfe der Reihendarstellung von e^x

07.04.2018, 09:04	anderson94	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe mit Hilfe der Reihendarstellung von e^x Servus Leute, Hänge gerade bei einem Unterpunkt einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter... Ich habe folgende Funktion von R nach R gegeben $\begin{eqnarray} f(x) : \frac{x}{e^{x} } \end{eqnarray}$ . Von dieser Soll ich die Taylorreihe im punkt $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ bilden. Das war mit den Ableitungen relativ easy und ich kam auf folgendes Ergebniss: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^{k}\frac{a-k}{e^{a}k!} (x-a)^{k} \end{eqnarray}$ Nun sollte ich die Taylorreihe mit der Reihendarstellung von der Exponentialfunktion bilden. Taylorreihe von $\begin{eqnarray} \frac{1}{e^{x} } \end{eqnarray}$ im punkt a wäre ja: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^{k}\frac{1}{e^{a}k!} (x-a)^{k} \end{eqnarray}$ das Schaut ja eigentlich fast schon so aus wie die Reihe aus dem Ergebniss. Meine Funktion hat ja noch das x im Zähler: $\begin{eqnarray} \frac{x}{e^{x} } \end{eqnarray}$ . Was kann ich jetzt weiter machen? Wenn ich das x in die Reihe reinmultipliziere kommt ja nicht das gewünschte bei raus. Hat jemand eine Idee für einen ersten richtigen Schritt? lg Anderson
07.04.2018, 09:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe mit Hilfe der Reihendarstellung von e^x Mutliplizier mal das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ rein. Benutze dann, dass $\begin{eqnarray} x = (x - a) + ( a - k) + k \end{eqnarray}$ ist. Über Summenmanipulationen sollte man zeigen können, dass die Reihe mit $\begin{eqnarray} x-a \end{eqnarray}$ und die Reihe mit $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ sich wegheben.
07.04.2018, 10:24	anderson94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe mit Hilfe der Reihendarstellung von e^x servus IfindU dann sieht meine Funktion so aus: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^k \frac{(x-a)^{k+1}}{e^{a}k! } + (-1)^k \frac{(x-a)^{k}(a-k)}{e^{a}k! }+(-1)^k \frac{(x-a)^{k}}{e^{a}\left(k-1\right)! } \end{eqnarray}$ Jetzt bin ich mir mit meiner Argumentaton nicht ganz sicher, da man ja bei Umordung von Reihen aufpassen sollte, da unter Umständen andere Grenzwerte kommen können. Wenn ich mir nun den Teil $\begin{eqnarray} (-1)^k \frac{(x-a)^{k+1}}{e^{a}k! }+(-1)^k \frac{(x-a)^{k}}{e^{a}\left(k-1\right)! } \end{eqnarray}$ anschaue, dann heben sich die ja auf da, $\begin{eqnarray} (-1)^k \frac{(x-a)^{k}}{e^{a}\left(k-1\right)! } \end{eqnarray}$ praktisch genau $\begin{eqnarray} (-1)^k \frac{(x-a)^{k+1}}{e^{a}k! } \end{eqnarray}$ ist nur um ein Vorzeichen verschoben. Wie aargumentiere ich aber, dass ich das bei dieser Reihe so sagen darf? oder ist das "trivial"? lg anderson
07.04.2018, 11:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe mit Hilfe der Reihendarstellung von e^x Mir würds reichen. Ganz sauber kannst du die Linearität der Reihe benutzen, und dann einen Indexshift durchführen.
07.04.2018, 12:44	anderson94	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das sagt mir jetzt gerade nicht ganz soviel, also Linearität und Shift schon aber, was ich explizit damit machen sollte. Naaja wegen der Begrüdung wird mich der Prof. schon nicht an der Tafel killen trotzdem wäre es ganz interessant, außer es bedarf eine längeren Erklärung deinerseits. Aus der Vorlesung weis ich, dass eine Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{k} \end{eqnarray}$ die gegen a konvergiert, bei jeder Umordnung gege a konvergiert,falls $\begin{eqnarray} a_{k} \geq 0 \end{eqnarray}$ ist.
07.04.2018, 14:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} a_k = (-1)^k \frac { (x-a)^k} {e^a (k-1)!} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \left((-1)^k \frac{(x-a)^{k+1}}{e^{a}k! } + (-1)^k \frac{(x-a)^{k}}{e^{a}\left(k-1\right)! } \right) = \sum\limits_{k=0}^{\infty } ( -a_{k+1} + a_k ) \end{eqnarray}$ . Mit Linearität also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } ( -a_{k+1} + a_k ) = -\sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{k+1} +\sum\limits_{k=0}^{\infty } a_k \end{eqnarray}$ . Und mit Indexshift meinte ich nun $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{k+1}= \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{k} \end{eqnarray}$ . Nun kann man $\begin{eqnarray} -\sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{k+1} +\sum\limits_{k=0}^{\infty } a_k \end{eqnarray}$ leicht ausrechnen mit Ergebnis $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ .
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07.04.2018, 17:39	anderson94	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen DANK IfindU!

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