Berührungspunkt

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OperationOhneArzt Auf diesen Beitrag antworten »
Berührungspunkt
Meine Frage:
Gegeben sind die Funktionsschar ft(x)=tx-x³ und g(x)=1,5x²-3,5. Wie ist der Parameter t zu wählen, damit f und g einen Berührpunkt haben.

Meine Ideen:
1) Ableitungen gleich setzen: f'(x)=g'(x) => t-3x²=3x ==>

Was mach ich jetzt? Jetzt müsste ich ja noch f(x)=g(x) setzen, aber da kriegt man kein x raus bzw. wenn ich mein x aus 1) einsetze, dann kommt ne übelst komplexe Gleichung raus
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berührungspunkt
Um lediglich einen Berührungspunkt zu haben, reicht es die Funktionen gleichzusetzen. Die Ableitungen würde man gleichsetzen, wenn man die Stelle, an der beide die gleiche Steigung besitzen, herausfinden möchte.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berührungspunkt
Für eine Berührung der beiden Kurven an einer gewissen Stelle x=u müssen natürlich Funktionswert und Ableitungswert an der Stelle u übereinstimmen. Ich würde vorschlagen, zuerst das vollständige Gleichungssystem (2 Gleichungen für u und t) aufzustellen und erst dann zu entscheiden, welchen Weg ich für die Lösung einschlagen möchte.
Das Gleichungssystem führt allerdings, soweit ich sehe, auf eine nicht "elementar" zu lösende kubische Gleichung.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berührungspunkt
@cosenk:
Korrektur:

Ein gemeinsamer Punkt von 2 Kurven ist zunächst einmal nur ein "Schnittpunkt". Für einen "Berührungspunkt" wird zusätzlich verlangt, dass die Tangenten der beiden Kurven in diesem Schnittpunkt übereinstimmen.
operationohnearzt Auf diesen Beitrag antworten »

also 1.: x³+1,5x²-tx-3,5 = 0 und 2.: 0=3x²+3x-t ... oder was meinst du? verwirrt
operationohnearzt Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das jetzt mal durchgerechnet. Die Gleichung der Ableitung nach t umgestellt und dann Gleichsetzungsverfahren ... die entstandene Gleichung nach x aufgelöst mit Newton-Verfahren, Ergebnis: x=-1,51. Das Ergebnis für t ausgerechnet: t= 2,31 ... wenn ich mir das in meinem Darstellungsprogramm ansehe, macht die Lösung tatsächlich Sinn und stimmt ....



aber gibt es da keine einfachere Methode verwirrt
 
 
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dieselben Gleichungen und die Lösung



Da man um die kubische Gleichung wohl nicht herumkommt, sehe ich auch
keinen wesentlich einfacheren Lösungsweg. Man muss sich aber ja doch nicht
mit irgendwelchen komplexen Gleichungen rumschlagen, wie du offenbar
zunächst befürchtet hast. Was wir suchen, ist ja doch "nur" eine reelle Lösung.
operationohnearzt Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für deine Hilfe smile im Nachhinein war es ja jetzt auch nicht soooooooo schwer Hammer
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berührungspunkt
Zitat:
Original von rumar
@cosenk:
Korrektur:

Ein gemeinsamer Punkt von 2 Kurven ist zunächst einmal nur ein "Schnittpunkt". Für einen "Berührungspunkt" wird zusätzlich verlangt, dass die Tangenten der beiden Kurven in diesem Schnittpunkt übereinstimmen.


Stimmt, mein Fehler. Danke! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berührungspunkt
Zitat:
Original von rumar
Das Gleichungssystem führt allerdings, soweit ich sehe, auf eine nicht "elementar" zu lösende kubische Gleichung.

Was bei Schulaufgaben eher selten vorkommt. Häufig liegt in solchen Fällen dann irgendein Tippfehler vor. Wenn es oben z.B. g(x)=1,5x²+3,5 heißen würde, hätte man eine schöne runde Lösung. Augenzwinkern
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