Stetigkeit, Funktion 2 Variablen

07.04.2018, 17:35

Kathreena

Stetigkeit, Funktion 2 Variablen

a.) $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } ,& (x,y)\neq (0,0) \\ 0 ,& (x,y) = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{sin(xy^2+x^2y)}{x^2+y^2} ,& (x,y)\neq (0,0) \\ 0 ,& (x,y) = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c.) $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{2x^2-y^2}{x^2+3y^2} ,& (x,y)\neq (0,0) \\ \alpha ,& (x,y) = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} f stetig \Leftrightarrow \forall (a_n) \subseteq \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(a_n) \Leftrightarrow f(\lim_{n \to \infty}a_n) \end{eqnarray*}$

a.)
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ , weil f rational gebrochene Fkt. und die sind immer stetig auf ihrer Definitionsmenge.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig für $\begin{eqnarray*} (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$ ?

Ich benutze die Folge:
$\begin{eqnarray*} a_n = (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2} }{n} = 0 \end{eqnarray*}$
Und weils so in der Angabe definiert ist:
$\begin{eqnarray*} f(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n},\frac{1}{n}) = f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ Also stetigkeit in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ , weil f rational gebrochene Fkt. mit sinus fkt. und die sind immer stetig auf ihrer Definitionsmenge.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig für $\begin{eqnarray*} (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} a_n = (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n}\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{2}{n^2} )}{\frac{2}{n^2} } = \end{eqnarray*}$

Weiter mit L'hospital:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{-6 \cdot n^{-4}cos(\frac{2}{n^2} )}{\frac{-4}{n^3} } = \lim_{n \to \infty} \frac{6 \cdot cos(\frac{2}{n^2} )}{4n}= 0 \end{eqnarray*}$

Beweis mit Sandwitchkriterium für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} |\frac{6}{4n}| \leq | \frac{6 \cdot cos(\frac{2}{n^2} )}{4n} | \leq 6 \cdot |cos(\frac{2}{n^2} )| \end{eqnarray*}$

Und weils in der Angabe so definiert ist, gillt auch:
$\begin{eqnarray*} f(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n},\frac{1}{n}) = f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ Also stetigkeit in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$

c.) Reichts wenn ich hier sage, das es keine klare Lösung gibt, für (x,y) = 0. Also Stetigkeit nicht vorhanden.
Im Prinzip steht da in der Angabe, das ich unendlich viele Lösungen habe ? Oder versteh ich was falsch.

Sorry wurde ein bisschen lang.

09.04.2018, 09:16

klarsoweit

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RE: Stetigkeit, Funktion 2 Variablen

Zitat:

Original von Kathreena
Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} f stetig \Leftrightarrow \forall (a_n) \subseteq \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(a_n) \Leftrightarrow f(\lim_{n \to \infty}a_n) \end{eqnarray*}$

Dieses formale Chaos ist erst mal zu entwirren. Korrekt ist:

Eine Funktion f: R² --> R ist im Punkt (x_0, y_0) stetig, wenn gilt:
Für alle Folgen (a_n) mit $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n}\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{2}{n^2} )}{\frac{2}{n^2} } \end{eqnarray*}$

Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n}\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{2}{n^3} )}{\frac{2}{n^2} } \end{eqnarray*}$

Allerdings hast du das grundsätzliche Problem, daß du hier (und auch in Aufgabe a) nur eine einzige Folge genommen hast. Stetigkeit ist aber nur dann, wenn das für alle Folgen gilt.

Zitat:

Original von Kathreena
Beweis mit Sandwitchkriterium für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} |\frac{6}{4n}| \leq | \frac{6 \cdot cos(\frac{2}{n^2} )}{4n} | \leq 6 \cdot |cos(\frac{2}{n^2} )| \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, daß die erste Ungleichung falsch ist, was willst du damit jetzt sagen?

Zitat:

Original von Kathreena
c.) Reichts wenn ich hier sage, das es keine klare Lösung gibt, für (x,y) = 0. Also Stetigkeit nicht vorhanden.
Im Prinzip steht da in der Angabe, das ich unendlich viele Lösungen habe ? Oder versteh ich was falsch.

Auch hier solltest du dir die Situation mit verschiedenen Folgen anschauen. Bekommst du da unterschiedliche Grenzwerte, kann keine Stetigkeit mehr vorliegen.

09.04.2018, 19:44

Kathreena

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Danke, da hab ich wohl was falsch vestanden.

Wie zeigt man das dann allgemein.

a.) $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } ,& (x,y)\neq (0,0) \\ 0 ,& (x,y) = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} 0 \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} |\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } |\leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} 2|xy| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} |\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } | = 0 = f(0,0) \end{eqnarray*}$ Stetig in (0,0)

c.) $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{2x^2-y^2}{x^2+3y^2} ,& (x,y)\neq (0,0) \\ \alpha ,& (x,y) = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n = \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{\alpha \to 0} f(\alpha,\alpha) = \lim_{\alpha \to 0} \frac{2\alpha^2-\alpha^2}{\alpha^2+3\alpha^2}=\lim_{\alpha \to 0}\frac{\alpha^2}{4\alpha^2} = \frac{1}{4} \neq 0 = f(0,0) \end{eqnarray*}$ Nicht Stetig in (0,0)

So richtig ?

10.04.2018, 09:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
a.) $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } ,& (x,y)\neq (0,0) \\ 0 ,& (x,y) = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Noch ein Tipp, wie man sowas schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} 0 \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} |\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } | \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} 2|xy| = 0 \end{eqnarray*}$

Hm, einfach kommentarlos hingeworfene Ungleichungen, bringen nicht viel. Anscheinend möchtest du wohl folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } | \leq 2|xy| \end{eqnarray*}$

Die linke Ungleichung ist klar, aber für die rechte Ungleichung müßte $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2} \geq 1 \end{eqnarray*}$ gelten, was aber nicht der Fall ist, wenn (x,y) innerhalb des Einheitskreises liegt. Und da die Folge (x_n, y_n) gegen (0, 0) konvergiert, muß aber die Mehrheit der Punkte nun mal innerhalb des Einheitskreises liegen. smile

Ich würde eher $\begin{eqnarray*} |\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2} } | \end{eqnarray*}$ nach oben mittels der Ungleichung $\begin{eqnarray*} |2xy| \leq x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ abschätzen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kathreena
c.) $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{2x^2-y^2}{x^2+3y^2} ,& (x,y)\neq (0,0) \\ \alpha ,& (x,y) = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n = \alpha \end{eqnarray*}$

Da bist du mal wieder schon rein formal neben der Spur. Die Folge (a_n) ist erstens eine Folge aus dem R² und zweitens muß diese gegen (0, 0) konvergieren. Vielleicht bekommst du ein Indiz über das Verhalten der Funktion, wenn du mal 2 verschiedene Folgen (a_n) und (b_n) nimmst, die jeweils gegen (0, 0) konvergieren.

Das Alpha steht hier für eine beliebige, aber feste reelle Zahl. Die Frage ist nun, ob es ein Alpha gibt, so daß die Funktion stetig ist. Möglicherweise ist sie aber auch für alle Alpha unstetig, dann müßtest du eben dieses zeigen.

10.04.2018, 10:17

HAL 9000

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Ein Hinweis noch zu b): Da kann man sich relativ rasch des Sinus entledigen, wenn man das für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gültige $\begin{eqnarray*} |\sin(t)|\leq |t| \end{eqnarray*}$ nutzt. Damit ist dann nämlich für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|\leq \frac{|xy^2+x^2y|}{x^2+y^2} = \frac{|xy(x+y)|}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ .

Und auch hier erweist sich dann die von klarsoweit schon angesprochene Abschätzung $\begin{eqnarray*} |2xy|\leq x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ im weiteren Verlauf als nützlich.

10.04.2018, 20:01

Kathreena

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Danke, Ich hab nun a.) und b.) gelöst. Beide sin Stetig.

Bei c.) bin ich noch nicht sicher.
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^2-y^2}{x^2+3y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ \alpha & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich habe mit 2 Folgen untersucht, und unterschiedliche Grenzwerte bekommen, was auf nicht Stetig schließen lässt.

Also ich wähle zuerst.

$\begin{eqnarray*} x_k = 0, y_k = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0,\frac{1}{n} ) = \frac{0-\frac{1}{n^2}}{0+\frac{3}{k^2} } = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Und dann nochmal mit:

$\begin{eqnarray*} a_k = -\frac{1}{n}, b_k = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-\frac{1}{n},\frac{1}{n} ) = \frac{\frac{2}{n^2} - \frac{1}{n^2} }{\frac{1}{n^2} +\frac{3}{n^2} } = \frac{1}{4} \neq -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ nicht stetig

11.04.2018, 09:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Also ich wähle zuerst.

$\begin{eqnarray*} x_k = 0, y_k = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Da mußt du dich entscheiden: entweder $\begin{eqnarray*} y_k = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Entsprechend mußt du dann noch die nächste Zeile anpassen. Aber ansonsten ist das ok. smile

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