Geschwindigkeitsfeld

08.04.2018, 14:31	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschwindigkeitsfeld Hallo zusammen Ich habe eine Abbildung $\begin{eqnarray} x: \mathbb R \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ von Lagrangen zu Eulerschen Koordinaten der Form $\begin{eqnarray} x(t, X) = \left( \matrix{X_1+t \\ e^t X_2 \\ X_3 + t X_1 } \right) \end{eqnarray}$ . Wie kann ich nun das Geschwindigkeitsfeld v(t, x) in Eulerschen Koordinaten berechnen? Danke für jede Hilfe!
09.04.2018, 18:06	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geschwindigkeitsfeld Hallo Thomas7, ich erlaube mir, etwas andere Bezeichnungen zu verwenden, weil mich insbesondere das Nebeneinander des kleinen x (rür eine vektorielle Funktion) und des großen X (auch für einen Vektor) stört. Deshalb schreibe ich die Abbildung so: $\begin{eqnarray} \qquad \qquad \vec{r} \left(t , \vec{x}\right)\ =\ \begin{pmatrix}x_1+t\\ x_2\cdot e^t \\ x_3+t \cdot x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun wäre die "ganz gewöhnliche" Ableitung nach t : $\begin{eqnarray} \qquad \qquad \frac{d}{dt}\,\vec{r} \left(t , \vec{x}\right)\ =\ \vec{v} \left(t , \vec{x}\right)\ =\ \begin{pmatrix} 1 \\ x_2\cdot e^t \\ x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt bin ich mir nur nicht sicher, ob dies jetzt die gewünschte Geschwindigkeit in "Eulerschen Koordinaten" ist oder doch nicht.
10.04.2018, 23:21	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geschwindigkeitsfeld Hallo rumar Vielen Dank für Dein Beitrag! Ich war mir eben auch nicht sicher, habe inzwischen aber auch "einfach" nach t abgeleitet. Etwas anderes noch: Ich habe die Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} p(t, x) = x_1 + x_2 sin t \end{eqnarray}$ Wie kann ich nun die Formel $\begin{eqnarray} D_t p(t, x) = \frac{d}{dt} p(t, x(t, X)) \end{eqnarray}$ mit der materiellen Ableitung $\begin{eqnarray} D_t \end{eqnarray}$ verifizieren?
13.04.2018, 17:12	Krombopulus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geschwindigkeitsfeld Hallo, Durch einsetzen des totalen Differentials ("materiellen Ableitung"). $\begin{eqnarray} D_t p(t,x(t))=\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t} \end{eqnarray}$ Da bei dem gegebenen Beispiel (p) x unabhängig von t zu sein scheint und somit gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial x_i}{\partial t}=0 \end{eqnarray}$ , fällt der rechte Teil weg. Übrig bleibt die zu verifizierende Formel: $\begin{eqnarray} D_t p(t,x)=\frac{\partial p}{\partial t} \end{eqnarray}$ Ich hoffe zumindest, dass das mit den kleinen d's gemeint ist. Die Schreibweisen für partielle und totale Ableitungen macht jede Disziplin gefühlt ein bischen anders. Häufig Historie, Vorlieben, Unsicherheit oder Faulheit geschuldet (Geht mir genauso). Daher kann das manchmal verwirrend sein (Geht mir zumindest so). Man muss sich einfach dran gewöhnen

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