Krümmung - Logarithmische Spirale (Kurve)

08.04.2018, 16:02	Fury	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung - Logarithmische Spirale (Kurve) Man bestimme die Krümmung der logarithmischen Spirale $\begin{eqnarray} c(r,\theta) = e^{a\theta},\ \theta \in \mathbb{R},\ a > 0 \end{eqnarray}$ Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich leider Schwierigkeiten und hoffe, dass mir jemand helfen kann. Ich habe die Kurve zunächst in die Parameterdarstellung gebracht: $\begin{eqnarray} c(r,\theta) = \begin{pmatrix} e^{a\theta}\cos(\theta) \\ e^{a\theta}\sin(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Ableitungen $\begin{eqnarray} \dot{c}(r, \theta) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ddot{c}(r,\theta) \end{eqnarray}$ gebildet: Diese sind: $\begin{eqnarray} \dot{c}(r, \theta) = \begin{pmatrix} ae^{a\theta}\cos(\theta) - e^{a\theta}\sin(\theta) \\<br /> e^{a\theta}\cos(\theta) + ae^{a\theta}\sin(\theta) \end{pmatrix} = e^{a\theta}\begin{pmatrix} a\cos(\theta) - \sin(\theta) \\<br /> \cos(\theta) + a\sin(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ddot{c}(r, \theta) = e^{a\theta}\begin{pmatrix} (a^2-1)\cos(\theta) - 2a\sin(\theta) \\<br /> (a^2-1)\sin(\theta) + 2a\cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} \\|\dot{c}(r, \theta)\\| = e^{a\theta}\sqrt{a^2+1} \not= 1 \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ also ist die Kurve nicht nach Bogenlänge parametrisiert. Das heißt die Krümmung erhält man dann durch $\begin{eqnarray} \kappa_{c}(\theta) = \frac{\det\left(\dot{c}(r, \theta), \ddot{c}(r, \theta)\right)}{\\|\dot{c}(r, \theta)\\|^3} \end{eqnarray}$ Stimmen meine Überlegungen bis hier ? Und führt die letzte Gleichung tatsächlich zur Lösung der Aufgabe? Ich empfand es als sehr "mühsam" die Determinante hier auszurechnen. Würde mich freuen wenn mir jemand Rückmeldung geben könnte Vielen Dank
08.04.2018, 17:03	Fury	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich konnte die Aufgabe nun selbstständig lösen. Der entscheidende Punkt war es, die Kurve garnicht erst in die Paramterdarstellung zu transformieren und anschließend zu versuchen das Ganze mit der Krümmungsformel zu lösen sondern direkt die Krümmungsformel für Kurven in Polarkoordinaten heranzuziehen was die ganze Sache wesentlich vereinfacht. Trotzdem vielen Dank Fury
08.04.2018, 17:35	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl du die Aufgabe anscheinend schon selber lösen konntest: Ich rätsle noch an deinen Bezeichnungsweisen herum. Was soll denn z.B. mit dem r gemeint sein, das zwar zuerst auf der linken Seite im Term $\begin{eqnarray} c(r,\theta) \end{eqnarray}$ vorkommt, aber auf der rechten Seite gar nicht. Und was genau ist mit $\begin{eqnarray} c(r,\theta) \end{eqnarray}$ oder meinetwegen $\begin{eqnarray} c(a,\theta) \end{eqnarray}$ gemeint ?

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