Newton Gauß - zusätzliche Gleichungen und Unbekannte?

11.04.2018, 10:42	C/CE	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton Gauß - zusätzliche Gleichungen und Unbekannte? Hallo zusammen, da dies ist mein erster Beitragl: Ich heiße Christian, bin Maschinenbauer (kein Mathematiker also seid nett zu mir ) und habe eine etwas, wie ich finde, ungewöhnliche Frage zum Newton-Gauß. Leider habe ich zwar viel zum Verfahren gefunden, aber nichts zu meiner Frage. Schön das es solch ein Forum gibt und Danke schonmal für eure Hilfe! Ich habe ein nichtlineares, überbestimmtes Gleichungssystem bestehend aus verschiedenen Modellgleichungen, welches ich mit dem Newton-Gauß-Verfahren unter Berücksichtigung von gemessenen Werten (Messdaten) lösen möchte. Soweit nicht ungewöhnlich. Verschiedene Beispiele im Netz haben dann häufig "eine" Modellgleichung (z.B. Kreisgleichung), viele Messungen und einige unbekannte Parameter. Die Anzahl der Gleichungen im Gleichungssystem entspricht dann der Anzahl der Messungen. Wie man solch ein System mit Newton Gauß löst, verstehe ich. Bei meinem Problem habe ich aus Kostengründen leider nur eine Messung und eine hohe Anzahl an teils unterschiedlichen Modellgleichungen (108 unterschiedliche Gleichungen), bei 100 Unbekannten. Die Unbekannten stellen im Wesentlichen den Verlauf von Kurven da, welche ich als Ergebnis erhalten möchte. Bei günstigen Startwerten konvergiert es und die Ergebnisse sehen mehr oder weniger plausibel aus. Das Problem ist, dass die Messungen Messfehlern unterliegen bzw. teils Ausreisser darunter sind. Dies führt zu unschönen Sprüngen in meinem Kurven. Mein Lösungsansatz: Ich ersetze die Stellen an den in den Gleichungen normalerweise nur die gemessenen Werte (MW) eingesetzt werden durch den Term (MW+C) mit unterschiedlichen Ci als "neue" Unbekannte. Ci stellt für mich also sozusagen den möglichen Messfehler dar. Dieser kann vorhanden sein, soll aber optimalerweise klein sein. Ich führe daher für jedes C zusätzliche Gleichungen der Form C=0 im Gleichungssystem ein. Damit wird das Gleichungssystem super gelöst und die Kurvenverläufe sehen schön aus/keine Sprünge mehr an der Stelle der gemessenen Werte Soweit so gut und Danke schonmal fürs lesen Ich hoffe das Ganze war einigermaßen verständlich. Meine Fragen: Frage 1: Ist die Verwendung einer Vielzahl teils unterschiedlicher Modellgleichungen (teilweise linear, teilweise nichtlinear) in der Form zulässig oder spricht etwas dagegen? Die Gleichungen müssen doch nicht immer vom gleichen Typ (z.B. alles Kreisgleichungen) sein, oder? Habe leider weder ein Beispiel noch sonstige Angaben zu diesem Fall finden können. Frage 2: Ist der beschriebene Lösungsansatz so ok? Ich tue mich etwas schwer dabei dem Gleichungssystem einfach so Gleichungen hinzuzufügen bzw. den Messfehler als Unbekannte einzuführen. Darf ich das machen bzw. hat dieses Vorgehen einen bestimmten Namen? Finde da weder auf deutsch noch auf englisch irgendwelche Hinweise. Ich bin mit dem Ergebnis zufrieden, das Ganze ist jedoch für eine Abschlussarbeit und da muss ich es natürlich besser verstehen, beschreiben können und am Besten mit Quellen belegen... Bin für jede Quelle, jeden Hinweis/Link bzw. jedes Stichwort dankbar! Viele Grüße, Christian Zu Frage 1: Habe im Buch "Numerische Mathematik" im Kapitel 5.5.2 "Gauß-Newton Verfahren" folgendes Beispiel gefunden: Beispiel 5.1: "Gegeben seien die folgenden zwei nichtlinearen Gleichungen in einer Unbekannten x+1 = 0 a*x²+x+1=0 Das sieht so aus, als ob es sich nicht um "nur eine Modellgleichung" handelt. Ich gehe daher davon aus, dass es möglich ist, unterschiedliche Modellgleichungen zu benutzen. Was meint ihr? Jmd. zu Frage 2 eine Idee? Willkommen im Matheboard! Ich habe Deine beiden Beiträge zu einem zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen
13.04.2018, 16:38	Krombopulus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton Gauß - zusätzliche Gleichungen und Unbekannte? Hallo, Das Stichwort ist Ausgleichsrechnung! Da gibt es zum Beispiel ein Buch von Wolfgang Niemeier (Ausgleichsrechnung), aber auch zahlreiche andere. Beide von dir beschrieben Probleme "konkurrierende Modelle" und "Außreißer" werden ähnlich behandelt. Es werden zusätzliche Parameter eingeführt und diese werden mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt. Der von dir beschriebene Ansatz war also schon sehr gut! Ich bin kein Experte auf dem Gebiet und musste gerade auch nochmal in ein älteres Skript schauen. Aber bei mir hat es geklingelt, da ich sowas mal im Studium hatte. Es gibt sicher zahlreiche Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure, die sich primär mit den Problemstellungen der Ausgleichsrechnung befassen und da tut sich bestimmt immer mal wieder was. Daher schau ruhig nochmal nach aktuellerer Literatur. Hoffe es hilft. Viele Grüße!
16.04.2018, 11:57	C/CE	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Krombopulus, habe mir das Buch gerade als Ebook gekauft. Recht teuer (45€ bei Thalia] aber ich glaube es hat sich gelohnt! Danke für deine Antwort! Viele Grüße, Christian

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