Integral über Gaußprozess normalverteilt

10.04.2018, 15:32	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Gaußprozess normalverteilt Hallo, ich habe einen Gaußprozess $\begin{eqnarray} (X_t)_{t\in \mathbb R} \end{eqnarray}$ , also jedes $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ ist eine normalverteilte Zufallsvariable. Im Buch "Random Fields and Geometry" von Adler und Taylor steht ohne nähere Ausführungen, dass für eine geeignete Funktion $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ (also so, dass das Integral fast sicher definiert und endlich ist) die Funktion $\begin{eqnarray} <br /> \omega \mapsto \int_{\mathbb R} X_t(\omega) \phi(t) d t<br /> \end{eqnarray}$ eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Ich scheitere aber daran, das nachzuweisen. Weiß jemand, wie das funktioniert oder wo man das nachlesen kann? Freundliche Grüße und herzlichen Dank daLoisl
12.04.2018, 10:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur eine kurze Betrachtung, warum die Behauptung plausibel ist: $\begin{eqnarray} \phi(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ ist ja gewissermaßen der absolutstetige Spezialfall von $\begin{eqnarray} \dd \mu(t) \end{eqnarray}$ mit einem (signierten) Maß $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Die Normalverteiltheit von $\begin{eqnarray} \int\limits_{\mathbb{R}} X_t(\omega) ~ \dd\mu(t) \end{eqnarray}$ sieht man sofort im Spezialfall $\begin{eqnarray} \mu = \sum_{k=1}^n \alpha_k \delta_{t_k} \end{eqnarray}$ (d.h. Linearkombination von Diracmaßen), denn da ist $\begin{eqnarray} \int\limits_{\mathbb{R}} X_t(\omega) ~ \dd\mu(t) = \sum_{k=1}^n \alpha_k X_{t_k}(\omega)\qquad () \end{eqnarray}$ , und wegen der Gaußprozesseigenschaft ist ja $\begin{eqnarray} (X_{t_1},\ldots,X_{t_k}) \end{eqnarray}$ ein normalverteilter Vektor, womit dann die Linearkombination () bekanntlich auch normalverteilt ist. Wie man nun allerdings von diesen einfach gestrickten Maßen beweistechnisch die Kurve kriegt hin zu allgemeinen Maßen $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , kann ich auch nicht sagen, da bin ich maßtheoretisch etwas eingerostet.

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