Beweis Matrizen

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Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Matrizen
Hallo, ich habe eine Frage zu der Aufgabe (siehe Anhang).

Wenn ich das richtig verstanden habe, soll man aus der Voraussetzung, dass für alle Matrizen gilt, folgern, dass ist.

Also wäre ein Ansatz:

Sei mit a,b,c,d .

Dann gilt genau dann, wenn.......

eine bestimmte Form hat...

Kann ich dann hier für die Einheitsmatrix einsetzen, damit zeigen, dass die Gleichung gilt und dann die Einheitsmatrix mit multiplizieren, und zeigen, dass die Gleichung ebenfalls gilt?
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Matrizen
Hallo,

das reicht nicht. Du zeigst damit nur die einfache Aussage, dass die Vertauschbarkeit gegeben ist, wenn ist.

Für die umgekehrte Richtung kannst Du spezielle Matrizen B verwenden, zum Beispiel solche, die in allen Komponenten gleich 0 sind, bis auf eine Komponente.

Gruß pwm
Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »

@pwm

danke für die Antwort smile

Und welche Matrizen kann ich dann in der umgekehrten Richtung für A nehmen?
PWM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Aufgabe ist doch: A ist gegeben, da ist also nichts zu wählen. Dann folgt eine Eigenschaft für beliebige Matrizen B, also kann man für B hilfreiche Matrizen auswählen.

Im Ergebnis zeigt man dann, dass A=aI ist.

Hast Du denn schonmal überprüft, was man erhält, wenn man AB oder BA berechnet, falls B nur eine einzige Nicht-Null-Komponente hat?

Gruß pwm
Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also du meinst = berechnen?
Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »

Was kann ich denn hier für eine Matrix A nehmen, um die Gleichung zu beweisen?
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

A ist eine gegebene Matrix. Du weißt über sie zunächst mal nichts, außer, dass sie die Eigenschaft "AB = BA für alle Matrizen B" mitbringt. Daraus sollst du schließen, dass A=aI_n mit einem a gilt.

Da du ja etwas über die Matrix A beweisen sollst, darfst du nicht irgendeine Matrix A nehmen.

Dein Ansatz mit dem "b 0 0 0" (bzw. "0 b 0 0", usw.) war doch gar nicht schlecht, hast du den mal weiterverfolgt?

LG
sibelius84
Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »

@sibelius84

Ich sitze schon 3 Tage vor dieser Gleichung und komme keinen Schritt weiter.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Setze doch einfach mal und werte folgende Gleichungen aus:

(1)

(2)

(3)

(4)

"Auswerten" meint hierbei, jeweils beide Seiten der Gleichung auszurechnen und zu schauen, was dann da steht. Das sollte vier Gleichungen in den Matrixeinträgen a, b, c, d geben. Wenn du die hast, können wir weiterschauen.
Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »

hey das bringt mich zu den Gleichungen

1)

2)

3)

4)
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, super! smile 0=0, a=a und d=d ist ja nun nichts erschreckend Neues, was wir nicht vorher schon gewusst hätten. Diese Gleichungen kannst du also streichen bzw. ignorieren. Wenn du nun die verbleibenden Gleichungen (bis auf Wiederholung sind es ja genau drei) in deine Ansatzmatrix einsetzt - was stellst du fest?
Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »

@sibelius84

Ich glaub 4) hatte ich verbockt, d=0 darf ja nicht rauskommen.

Jedenfalls sieht die Ansatzmatrix dann so aus:

sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

In Matrizen und Vektoren schreibt man keine Gleichheitszeichen hinein. Wenn du beispielsweise einen Vektor hast und findest nun heraus, dass y=3 und z=2x, dann sieht der Vektor so aus: . Auf diese Weise würde ich die Matrix A behandeln. Und behalte die Behauptung im Hinterkopf - du willst ja auch irgendwann fertig werden und bist vom Ziel gar nicht mehr allzu weit entfernt! smile
Bizepsbenny Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke für den Tipp!

Also dann habe ich die Matrix = = =
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Anmerkung meinerseits: Du hast bisher nur n=2 betrachtet. In der Aufgabe ist aber von einer nxn-Matrix die Rede. Wenn also nirgends n=2 gefordert wurde, wirst Du die Idee noch verallgemeinern müssen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Matrizen
Stimmt - da war ich doch glatt dem

Zitat:
Original von Bizepsbenny
mit a,b,c,d


auf den Leim gegangen...
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