Kreuzprodukt

11.04.2018, 11:51

Kegorus

Kreuzprodukt

Hallo Forum, ganz eine kurze Frage:

Gegeben sind drei Vektoren $\begin{eqnarray*} B,T,N \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} B=T\times N \end{eqnarray*}$ .

Wie weiß ich, ob nun $\begin{eqnarray*} B\times T =N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B\times T =-N \end{eqnarray*}$ gilt?

11.04.2018, 11:57

riwe

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RE: Kreuzprodukt
eventuell hilft dir grassmann weiter

11.04.2018, 12:10

Kegorus

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Danke, das hab ich mir eh schon angeschaut. Ich glaub ich bin aber gerade draufgekommen.

Ich glaube, $\begin{eqnarray*} B \times T=N \end{eqnarray*}$ ist richtig. Man betrachtet $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ und das Kreuzprodukt der beiden, also $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} B\times T \end{eqnarray*}$ ist jetzt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ einfach gleich $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , weil es dasselbe wie vorher nur gedreht ist.
Hingegen $\begin{eqnarray*} T\times B=-N \end{eqnarray*}$ , weil sich hier die Orientierung bzw. Reihenfolge umgekehrt hat.

11.04.2018, 12:53

riwe

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B x T = (T x N) x T = N soll allgemein gelten verwirrt

teste z.B. T=(0/1/-1) und N=(1/4/0)

11.04.2018, 12:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kegorus
Wie weiß ich, ob nun $\begin{eqnarray*} B\times T =N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B\times T =-N \end{eqnarray*}$ gilt?

Weder noch, wenn nicht noch die Zusatzbedingung $\begin{eqnarray*} T\perp N \end{eqnarray*}$ (d.h. insgesamt dann Dreibein) gefordert wird. Ach ja, und natürlich $\begin{eqnarray*} |T|=1 \end{eqnarray*}$ , fehlen also eine ganze Menge Voraussetzungen oben. Augenzwinkern

11.04.2018, 13:34

rumar

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RE: Kreuzprodukt
Ich denke, dass man da konkret sagen sollte, worum es genau geht. Die drei Vektoren sind doch hier nicht einfach irgendwelche Vektoren im Raum, sondern sie sollen wohl stehen für die drei Einheitsvektoren eines "begleitenden Dreibeins" einer Kurve im Raum:

[attach]46886[/attach]

T Tangentialvektor in Richtung der Bewegung
N Normalenvektor der Kurve im betrachteten Kurvenpunkt, zum Krümmungsmittelpunkt hin zeigend
B = T x N (normal auf der Schmiegeebene stehend)

Die drei Einheitsvektoren bilden in der Reihenfolge <T,N,B> oder <N,B,T> oder <B,T,N> ein orthonormiertes, rechtsorientiertes Dreibein.

Also gilt nebst B = T x N auch T = N x B und N = B x T

11.04.2018, 13:55

riwe

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RE: Kreuzprodukt
das war HAL ganz sicher und sogar mir bewußt,
aber man sollte auch den Fragenden denken lassen unglücklich

11.04.2018, 14:41

rumar

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RE: Kreuzprodukt
@riwe:

Haben meine Präzisierungen jetzt irgendwem geschadet ?

Leute, die hier einfach mal reingucken, werden doch wohl
etwas davon haben ...

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