Fragen zu DGLs

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11.04.2018, 10:23	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu DGLs Meine Frage: Hallo alle zusammen ich habe mal einige Fragen ich hoffe wir können diese zusammen klären. a) Wenn eine DGL die Lipschitz Bedingung erfüllt so gibt es eine eindeutige Lösung. Die Lipschitz Bedingung ist erfüllt wenn die Partielle Ableitung nach y beschränkt ist. Wie weise ich das nach? Kann ich aus Stetig Partiell Diffbar folgern das die Partielle Ableitung beschränkt ist ? Ich habe sowas im kopf bin mir aber nicht mehr sicher. (Ana2 länger her). b) warum ist bei DGL mit getrennten Variablen die Lösung gegeben durch integral 1/g(y)dy= integral f(x) dx. Warum ist das so ? Und warum kann man sagen das wenn ein AWP besteht das diese gelöst wird durch: y(a)=b $\begin{eqnarray} \int_{y}^{b} \! 1/g(s) \, ds = \int_{x}^{a} \! f(t) \, dt \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Danke für jede hilfe
11.04.2018, 18:27	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Mesut, zu a) Beispiel: $\begin{eqnarray} y'=\sqrt y, y(0)=0, t\geq 0 \end{eqnarray}$ . Eine mögliche Lösung ist offenbar die konstante Nullfunktion, wie man durch scharfes Hinsehen feststellt. Eine weitere Lösung ist aber $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{t^2}{4} \end{eqnarray}$ . (Beide Lösungen sind sogar unendlich oft differenzierbar!) Das liegt daran, dass die Wurzelfunktion auf keiner noch so kleinen Umgebung der 0 lipschitz-stetig ist. Da die DGL $\begin{eqnarray} y'=\sqrt y \end{eqnarray}$ eine autonome DGL ist (d.h. die rechte Seite hängt nicht explizit von t ab), besteht Translationsinvarianz; mithin gilt dasselbe für jedes AWP mit $\begin{eqnarray} y(t_0)=0, t\geq t_0 \end{eqnarray}$ (die zweite Lösung ist dann gegeben durch $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{(t-t_0)^2}{4} \end{eqnarray}$ ). Wenn die rechte Seite deiner DGL stetig differenzierbar ist, so ist ihre Ableitung (wegen der Stetigkeit) auf kompakten Mengen stets beschränkt, also lokal lipschitz-stetig. Wenn ich mich an Ana2 richtig erinnere, dann folgt aus stetig partiell differenzierbar zwar (total) differenzierbar, aber das muss i.A. nicht stetig sein. Ob man aus stetig partiell differenzierbar trotzdem lokal Lipschitz folgern kann, weiß ich leider gerade nicht. Vielleicht geht das irgendwie. zu b) Etwas untypisch, scheint hier die Variable(-nfunktion) der DGL nicht y=y(t), sondern s=s(t) zu heißen. Eine DGL mit getrennten Variablen hat ja die folgende Form: $\begin{eqnarray} s'=g(s)f(t) \end{eqnarray}$ . Nun kann man symbolisch folgendermaßen vorgehen: $\begin{eqnarray} \frac{ds}{dt}=g(s)f(t)\qquad\qquad\vert\cdot dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow ds=g(s)f(t)dt\qquad\qquad\vert :g(s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{ds}{g(s)}=f(t) dt \qquad\qquad\vert\int \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int \frac{ds}{g(s)}=\int f(t) dt \end{eqnarray}$ . Einige Dozenten mögen das "symbolische Rechnen mit ds und dt" nicht (obwohl ich gehört habe, dass man es über Differentialformen sogar 'exakt' begründen könne) und schreiben daher lieber die fertige Formel hin. Da bietet es sich hin, diese so anzupassen, dass die Anfangswerte direkt miteinbezogen werden und man nicht noch Konstanten ausrechnen muss. LG sibelius84
11.04.2018, 18:54	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sibelius. Danke für die Antwort. „ Lösungen sind sogar unendlich oft differenzierbar!) Das liegt daran, dass die Wurzelfunktion auf keiner noch so kleinen Umgebung der 0 lipschitz-stetig ist.„ Willst du mir damit sagen, das auch wenn die Lipschitz Bed. nicht erfüllt ist das es lösingen geben kann? Stimmt das, dass auch wenn die Lipschitz Bed nicht erfüllt ist Lösungen geben kann diese aber nicht eindeutig sind ? Wenn ja warum sucht man dann noch eindeutige Lösungen ? In der Vorlesung haben wir gelernt : Wenn die Partielle Ableitung von f nach y beschränkt ist dann folgt daraus das die Lipschitz Bedingung gilt. Das bedeutet wenn ich zeige das die Partielle Ableitung von f nach y stetig Partiell differenzierbar ist so habe ich gezeigt das diese beschränkt ist und die Lipschitz Bedingung gilt stimmt das ? Kann ich sagen das wenn die Partielle Ableitung von f nach y nicht beschränkt ist das dann auch nicht die Lipschitz Bedingung gilt ? Zu b) aber weshalb nimmt man die Anfangswerte in die untergrenze ? Sorry für soviel text aber will meine gedanken ordnen.. vielen Dank
11.04.2018, 19:19	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar kanns sonst auch Lösungen geben. Nur ist dem Mathematiker eben immer die Eindeutigkeit wichtig. Und dem Physiker, Chemiker, Biologen, ... bestimmt auch. Stell mal vor, du hast ein Teilchen, du kennst seinen Anfangsort, seine Anfangsgeschwindigkeit und eine zugehörige DGL. Wenn die DGL aber nicht eindeutig lösbar ist, hast du keine Ahnung, wo das Teilchen hinfliegen wird. Auf den Boden, aus dem Fenster, in mein Bierglas, alles ist möglich. Stell dir vor, du hast eine Population von 23 Kaninchen, samt Startfruchtbarkeit und zugehöriger DGL. Wenn die DGL nicht eindeutig lösbar ist, hast du keine Ahnung, ob sie sich exponentiell vermehren oder kollektiv sterben werden. Das ist dann so ein Moment, an dem man daran denken sollte, dass es auch noch ein Leben außerhalb der Mathematik gibt: Wahrscheinlich sollte man den Kaninchen doch besser Mozart vorspielen statt Rammstein Ich gehe stark davon aus, dass das, was dir in der VL erzählt wird, auch stimmt! Also auf der Basis deiner Angaben - Ja, ich denke, es ist so, wie du sagst: Wenn du zeigst, dass f stetig partiell nach y(=y_1,...,y_n, vermute ich mal?) differenzierbar ist, dann ist f lokal lipschitz-stetig. Wenn f_y existiert und auf einer kompakten Menge unbeschränkt ist, dann gilt dort keine Lipschitz-Bedingung, "Steigung kann beliebig groß werden". (Dann ist f aber natürlich nicht stetig partiell differenzierbar.) Kritisch ist meistens ein Punkt - so wie bei der Wurzelfunktion eben die Null -, wo dann f in keiner Umgebung eine Lipschitz-Bedingung erfüllt, und mag sie auch noch so klein sein. Zu b) - wer ist "man"? Der Prof macht es so, weil er es schön findet, und weil es funktioniert Funktionieren tut es, weil: Nach der Integration von oben hast du ja H(s)=F(t)+c, wobei H eine Stammfunktion von 1/g sei. (Konstante auf einer Seite reicht aus.) Setzt man hier die Startbedingung $\begin{eqnarray} s(t_0)=s_0 \end{eqnarray}$ ein, so erhält man H(s_0)=F(t_0)+c, also c=H(s_0)-F(t_0). Zurück eingesetzt ergibt dies H(s)=F(t)+H(s_0)-F(t_0) bzw. H(s)-H(s_0)=F(t)-F(t_0) bzw. $\begin{eqnarray} \int_{s_0}^s \frac{1}{g(\sigma)}\, d\sigma = \int_{t_0}^t f(\tau)\,d\tau \end{eqnarray}$ .
11.04.2018, 19:28	Gabriel98	Auf diesen Beitrag antworten »
ad b) In diesem Fall muss man gar nicht mit Differentialformen argumentieren. Man kann die Formel auch formal mithilfe der Substitutionsregel herleiten, ohne mit Differentialen zu multiplizieren: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=g(s)f(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\frac{1}{g(s)}=f(t) \end{eqnarray}$ Diese Gleichung kann man dann integrieren, da Integration eine Äquivalenzumformung ist (Integral ist monoton!!). Was man als untere Integrationsgrenze verwendet ist egal, es bietet sich allerdings an den Anfangswert zu verwenden (Du kannst aber beliebige reelle ZAhlen verwenden, da du sie nach der Integration zu einer Konstanten zusammenfassen kannst und die DGL immer noch erfüllt ist): $\begin{eqnarray} \int_{t_{0}}^{t} \! \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\frac{1}{g(s)} \, dt =\int_{t_{0}}^{t} \! f(t) \, dt \end{eqnarray}$ Nun sieht man, dass auf der linken Seite eine Funktion 1/g(s) multipliziert mit seiner inneren Ableitung ds/dt steht. Das heißt man kann nun die Substitutionsregel verwenden und gelangt zu: $\begin{eqnarray} \int_{g(t_{0})}^{g(t)} \! \frac{1}{g(s)} \, ds =\int_{t_{0}}^{t} \! f(t) \, dx \end{eqnarray}$ Man sieht, dass man so zu der bekannten Formel gelant. Diese Herleitung ist mathematisch korrekt..... Das mal dt hingegen ist nur eine Merkregel, mit dem zum selben Ergebnis gelangt. Wie hier bereits erwähnt wurde kann man rigoros mit Ausdrücken wie dt rechnen (Differentialformenkalkül), dies ist hier aber völlig unnötig
11.04.2018, 20:28	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das wissen. Hört sich alles gut an. Kann man eigentlich Allgemein sagen das wenn (A impliziert B) gilt auch (nicht A impliziert nicht B) Das wäre ja gerade in dem Beispiel der Fall. Ich würde aber sagen das es aufjedenfall nicht so ist. Mir fallen keine bsp dazu ein..
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11.04.2018, 21:00	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist in dem Beispiel nicht der Fall und im Allgemeinen auch falsch. Ein Beispiel: Wer ein Mathestudium absolviert hat, wird wohl formale Intelligenz besitzen; daraus folgt aber nicht, dass, wer kein Mathestudium absolviert hat, keine formale Intelligenz besäße. (Jurastudium reicht auch )
11.04.2018, 22:09	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm aber du sagtest doch selber das wenn die partielle ableitung nicht beschrännkt ist so erfüllt die Funktion auch nicht die Lipschitz Bedingung. „ Wenn f_y existiert und auf einer kompakten Menge unbeschränkt ist, dann gilt dort keine Lipschitz-Bedingung, „ Das ist ja (nicht A: Die Partielle Ableitung existiert und ist unbeschränkt) Und ( nicht B: Nicht Lipschitz Bedingung erfüllt) Naja ein anderes Beispiel wäre ja auch: Aus Stetig partiell diffbar folgt partiell Differenzierbar aber wenn die Funktion nicht stetig Partiell Differenzierbar ist heißt es nicht das die Funktion nicht partiell Differenzierbar ist.
12.04.2018, 08:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@sibelius84 Deine Ausführungen zu Beispiel a) deuten zwar an, aber führen noch nicht in aller Konsequenz zu Ende, wie denn nun alle Lösungen dieses AWP $\begin{eqnarray} y'=\sqrt{y},y(0)=0,t\geq 0 \end{eqnarray}$ aussehen: $\begin{eqnarray} y(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; 0\leq t\leq t_0\\ \frac{(t-t_0)^2}{4} & \;\mbox{für}\; t\geq t_0\end{cases} \end{eqnarray}$ mit beliebig wählbarem $\begin{eqnarray} t_0\in [0,\infty] \end{eqnarray}$ (d.h. für $\begin{eqnarray} t_0=\infty \end{eqnarray}$ entfällt der zweite Zweig).
12.04.2018, 10:21	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Auf die konkrete Fragestellung des Teilchens angewandt, würde das bedeuten: Man weiß, dass es irgendwann fliegen könnte und falls es fliegt, wohin; man weiß nur nicht, wann (bzw. ob überhaupt).
12.04.2018, 10:59	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagst du zu meinem Beitrag Sibelius?
12.04.2018, 13:20	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: ach sorry, ich Blindfisch. Jetzt sehe ich deinen letzten Beitrag. Wenn nicht-A wie von dir gegeben definiert ist, dann ist A: "Die partielle Ableitung f_y existiert nicht oder ist beschränkt." B wäre dann entsprechend: "f erfüllt auf einer kompakten Menge eine Lipschitz-Bedingung bzgl. y." ('Auf einer kompakten Menge' musste ich statt 'dort' reinnehmen, weil sonst der Bezug verlorengeht.) Ok, es gilt nicht-A => nicht-B. (Demnach gilt natürlich B => A: Das ist gerade die Kontraposition.) Aber A=>B gilt nicht. Sicher wird man Funktionen f mit nicht existierender partieller Ableitung f_y finden können, sodass f auf einem gewissen Kompaktum keine Lipschitz-Bedingung erfüllt. (Nun muss man sich evtl noch streiten, ob f denn auf jeden Fall stetig ist und was dann daraus folgt. Aber ich hoffe, die rein aussagenlogische Verwirrung habe ich ein wenig zerstreuen können?)

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