Integral von e^(-x)/(2x^3-1)?

11.04.2018, 15:26	Mimi111	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von e^(-x)/(2x^3-1)? Meine Frage: Hallo, ich soll in Analysis folgendes unbestimmtes Integral berechnen. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! \frac{2x^2+e^{-x}}{2x^3-1} \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe das Integral erstmal getrennt $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! \frac{2x^2}{2x^3-1} \, dx + \int_{0}^{\infty } \! \frac{e^{-x}}{2x^3-1} \, dx \end{eqnarray}$ Das erste Integral lässt sich einfach mit Substitution berechnen, aber das zweite kriege ich einfach nicht hin. Habe jegliche Substitutionen ausprobiert. Und Wolfram Alpha spuckt eine sehr seltsame Stammfuktion aus, die Funktionen enthält, die mir unbekannt sind.. Hat jemand einen Tip zur Berechnung? Danke
11.04.2018, 15:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dir mal über die im Integrationsgebiet (!) liegende Stelle $\begin{eqnarray} x_0=\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray}$ Gedanken gemacht? Die dort vorliegende Singularität des Integranden bewirkt, dass das Integral nicht existiert, auch als uneigentliches Integral nicht, es ist dann nämlich $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{x_0} \frac{2x^2+e^{-x}}{2x^3-1} ~ \dd x = -\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int\limits_{x_0}^{\infty} \frac{2x^2+e^{-x}}{2x^3-1} ~ \dd x = \infty \end{eqnarray}$ , bei letzterem Integral wird der $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ -Integralwert übrigens an beiden Enden "erzeugt".
11.04.2018, 15:45	Mimi111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja das habe ich nicht bedacht, vielen Dank
11.04.2018, 16:50	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von e^(-x)/(2x^3-1)? Obwohl das zweite Teilintegral wegen seiner Polstelle nicht wirklich durchführbar ist, könnte man ihm wohl trotzdem einen Wert zuordnen, nämlich im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes. https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Überdies ist aber die Integration nicht mit "elementaren" Mitteln möglich, sondern man muss dazu zur Integralexponentialfunktion Ei(x) greifen: https://de.wikipedia.org/wiki/Integralexponentialfunktion
11.04.2018, 16:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn nach dem hier nicht gefragt wurde: Im Sinne des Cauchyschen Hauptwerts dürfte hier $\begin{eqnarray} CH \int\limits_0^{\infty} \frac{2x^2+e^{-x}}{2x^3-1} ~ \dd x = \lim_{T\to\infty} \lim_{\varepsilon\searrow 0} \left( \int\limits_0^{x_0-\varepsilon} \frac{2x^2+e^{-x}}{2x^3-1} ~ \dd x +\int\limits_{x_0+\varepsilon}^T \frac{2x^2+e^{-x}}{2x^3-1} ~ \dd x \right) = \infty \end{eqnarray}$ herauskommen, da neutralisieren sich die Integralanteile beiderseits der Singularitätsstelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ weitestgehend, während für $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \frac{2x^2+e^{-x}}{2x^3-1}\approx \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ zum Tragen kommt.
11.04.2018, 16:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da scheint einer meine Posts zu lesen, bevor ich sie abschicke.
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