Grenzwert einer Folge bestimmen

11.04.2018, 19:03

HansHans1996

Grenzwert einer Folge bestimmen

Meine Frage:
Hi Leute,

Die Aufgabe ist:
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\left(\sqrt{n^2+3n+1}-n\right)^{-2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe bereitz alles probiert was mir eingefallen ist, quadratisch ergenzen n ausklammern usw. ich Brauche einen Tipp.

11.04.2018, 19:56

HAL 9000

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Dritte Binomische Formel: $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+3n+1}-n = \frac{n^2+3n+1-n^2}{\sqrt{n^2+3n+1}+n} \end{eqnarray*}$

11.04.2018, 19:57

sibelius84

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen
Hi,

ich würde innerhalb der Klammer
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\sqrt{n^2+3n+1}-n}{1}\right) \end{eqnarray*}$

schreiben und dann mit
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{n^2+3n+1}+n\right) \end{eqnarray*}$

erweitern.

LG
sibelius84

edit: diesmal ergänzen wir uns doch hervorragend, HAL 9000 Augenzwinkern

12.04.2018, 06:34

Leopold

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Offenbar genügt es, den Grenzwert $\begin{align*} \beta \end{align*}$ der Folge $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} b_n = \sqrt{n^2 + 3n + 1} - n \end{align*}$ zu bestimmen. Denn wegen $\begin{align*} a_n = {b_n}^{-2} \end{align*}$ hat dann $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ den Grenzwert $\begin{align*} \alpha = \beta^{-2} \end{align*}$ .

Setzt man $\begin{align*} n = \frac{1}{h} \end{align*}$ , so erkennt man in $\begin{align*} b_n \end{align*}$ den Differenzenquotienten $\begin{align*} b_n = \frac{\sqrt{h^2+3h+1} - 1}{h} \end{align*}$ der Funktion

$\begin{align*} f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 1} \end{align*}$

an der Stelle $\begin{align*} x_0 = 0 \end{align*}$ . Somit gilt $\begin{align*} \beta = f'(0) \end{align*}$ und folglich $\begin{align*} \alpha = \left( f'(0) \right)^{-2} \end{align*}$ .

12.04.2018, 15:05

Matt Eagle

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen

Zitat:

Original von HansHans1996
Meine Frage:
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\left(\sqrt{n^2+3n+1}-n\right)^{-2} \end{eqnarray*}$

Mit AM-GM-HM kann man den Term in der Klammer einschnüren:

$\begin{eqnarray*} \frac 32+\frac 1{2n}\geq\sqrt{n^2+3n+1}-n\geq\frac{3+\frac 1n}{2+\frac 3n+\frac 1{n^2}} \end{eqnarray*}$

so dass der gesuchte Grenzwert dann mittels GWS abzulesen ist.

13.04.2018, 01:57

sibelius84

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Das verstehe ich nicht und finde es interessant! Könntest du das mal genauer erklären? Das geometrische Mittel ist doch die n-te Wurzel von n Faktoren. Ok, also schätze ich mal hier n=2. Aber dann wie weiter? Sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+3n+1}\leq\sqrt{n^2+3n+2,25}=n+1,5 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+3n+1}-n\geq\sqrt{n(n+3)}-n\stackrel{HM-GM}\geq\frac{2}{\frac 1 n +\frac{1}{n+3}}-n=\frac{2n(n+3)}{2n+3}-n \end{eqnarray*}$

würde mir noch in den Sinn kommen. Ok, beim Unteren bin ich ohne nicht weitergekommen und habe dann die Gleichung gebraucht, aber beim oberen kann man eigentlich auch ohne sie auskommen.

13.04.2018, 08:38

Matt Eagle

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Es ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+3n+1}=\sqrt{n\cdot (n+3+\frac 1n)}. \end{eqnarray*}$

Gemäß AM-GM-HM folgt nun:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+(n+3+\frac 1n)}2\geq\sqrt{n^2+3n+1}\geq\frac 2{\frac 1n+\frac 1{n+3+\frac 1n}}. \end{eqnarray*}$

Jetzt noch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ subtrahieren, etwas umformen und dann steht's da.

13.04.2018, 09:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matt Eagle
Jetzt noch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ subtrahieren, etwas umformen und dann steht's da.

Nichts gegen die Verwendung von AM/GM/HM, aber speziell die Abschätzung nach unten hier mit GMHM erfordert doch eine ganz erhebliche Nachbearbeitung der rechten Seite. Vom Aufwand her steht der Weg dann nicht mehr so gut da - natürlich ist das nur mein subjektives Empfinden. Augenzwinkern

13.04.2018, 10:35

Matt Eagle

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Tatsächlich wird das Ganze durch das $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ im Nenner etwas unschön.
Aber auch das lässt sich einfach 'wegschätzen':

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+3n+1}-n>\sqrt{n(n+3)}-n\geq\frac 2{\frac 1n+\frac 1{n+3}}-n=\frac 3{2+\frac 3n} \end{eqnarray*}$

So oder so reden wir hier aber über Bruchrechnung auf 7.Klasse-Niveau.

Der eigentliche Charme des Zugangs über diese Abschätzung besteht m.E. aber darin, dass man damit ganz elementar (d.h. ohne Stetigkeits-Argumente etc.) zum Ziel gelangt.

13.04.2018, 11:25

HAL 9000

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Wenn es das Ziel ist, trickreich die Stetigkeit der Wurzelfunktion zu umgehen, dann würde ich eher ählich wie sibelius84 argumentieren, d.h. nach oben

$\begin{eqnarray*} \left( n + \frac{3}{2} \right)^2 = n^2+3n+\frac{9}{4} > n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$

und nach unten z.B. für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ abschätzen

$\begin{eqnarray*} \left( n + \frac{3}{2} - \frac{1}{n} \right)^2 = n^2+3n+\frac{9}{4}-2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2} \leq n^2+3n+\frac{1}{4}-\frac{2}{n} < n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$ ,

so hat man auch ein brauchbares Sandwich gefunden.

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