Beweis

12.04.2018, 14:11

Sofia100

Beweis

Hallo Leute,
ich habe einen metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F,G \subset X \end{eqnarray*}$ . Es ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \overline{F \cap G} \subseteq \overline{F} \cap \overline{G} \end{eqnarray*}$

Ich muss also zeigen, dass ein x beliebig aus der linken Menge auch in der Rechten liegt.

Also sei $\begin{eqnarray*} x \in \overline{F \cap G} \end{eqnarray*}$
Weil x im Abschluss liegt ist $\begin{eqnarray*} x\in F \cap G \end{eqnarray*}$ und ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} F \cap G \end{eqnarray*}$

D.h aber, da x ein HP ist, $\begin{eqnarray*} \exists x_n \ne x : x_n \rightarrow x \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x_n, x \in F \cap G. \end{eqnarray*}$
D.h aber $\begin{eqnarray*} x_n, x \in F \end{eqnarray*}$ und und $\begin{eqnarray*} x_n , x \in G \end{eqnarray*}$
Daraus folgt die Behauptung.
Stimmt das so? Ich glaube eher nicht verwirrt

12.04.2018, 14:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sofia100
Weil x im Abschluss liegt ist $\begin{eqnarray*} x\in F \cap G \end{eqnarray*}$ und ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} F \cap G \end{eqnarray*}$

Häufungspunkt ja, aber $\begin{eqnarray*} x\in F\cap G \end{eqnarray*}$ stimmt i.a. nicht. unglücklich

Geh alles nochmal Punkt für Punkt durch: Das wird nicht wirklich benötigt.

12.04.2018, 14:41

Sofia100

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Ja du hast Recht, der Abschluss wäre $\begin{eqnarray*} F \cap G = F \cap G \cup \{x \in X: x \ ist \ HP \ von \ F\cap G \} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich dann weitermachen?
$\begin{eqnarray*} x \in \overline { F \cap G} \end{eqnarray*}$ und dann?

12.04.2018, 15:17

HAL 9000

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Ich streiche mal deinen Beweis zusammen:

Zitat:

Original von Sofia100 (die Fehler gestrichen)
sei $\begin{eqnarray*} x \in \overline{F \cap G} \end{eqnarray*}$
Weil x im Abschluss liegt ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} F \cap G \end{eqnarray*}$

D.h aber, da x ein HP ist, $\begin{eqnarray*} \exists x_n \ne x : x_n \rightarrow x \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x_n \in F \cap G. \end{eqnarray*}$
D.h aber $\begin{eqnarray*} x_n \in F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \in G \end{eqnarray*}$

Es fehlen dann nur noch wenige Schritte, hauptsächlich der folgende:

$\begin{eqnarray*} x_n \in F \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} x_n\to x \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} x\in \overline{F} \end{eqnarray*}$ ,
analog $\begin{eqnarray*} x_n \in G \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} x_n\to x \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x\in \overline{G} \end{eqnarray*}$ .

12.04.2018, 15:46

Sofia100

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Vielen Dank smile

Stimmt der Grenzwert der Folge muss nicht in Menge liegen.

Fällt dir ein Beispiel ein, wann diese Mengenbeziehung strikt ist?

12.04.2018, 15:50

HAL 9000

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Ja sicher: Die reellen Zahlen mit der üblichen Metrik, und dann zwei sich berührende offene Intervalle.

Also z.B. $\begin{eqnarray*} F=(0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G=(1,2) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \overline{F\cap G} = \overline{\emptyset} = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{F}\cap \overline{G} = [0,1]\cap [1,2] = \{1\} \end{eqnarray*}$ .

12.04.2018, 15:55

Sofia100

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Nochmals danke smile

Toll, wie du hilft smile

SChönen Tag dir noch Wink

12.04.2018, 15:56

IfindU

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RE: Beweis
Übrigens, die Aussage ist praktisch identitisch zur Aussage $\begin{eqnarray*} A \subset B \implies \overline A \subset \overline B \end{eqnarray*}$ . Gilt nämlich das, so folgt mit der Wahl $\begin{eqnarray*} A = F \cap G \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} \overline { F \cap G} \subset \overline F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline { F \cap G} \subset \overline G \end{eqnarray*}$ . Damit also $\begin{eqnarray*} \overline { F \cap G} \subset \overline F \cap \overline G \end{eqnarray*}$ .

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